1 . 已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点．

2 . 已知椭圆的离心率为，且其左顶点到椭圆外的直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，为直线上的动点，直线分别交直线于（异于），求线段的中点坐标.

3 . 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．

4 . 已知椭圆C：的离心率为，上顶点为，下顶点为，，设点在直线上，过点的直线分别交椭圆于点和点，直线与轴的交点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若的面积为的面积的2倍，求t的值.

5 . 已知椭圆：的离心率为，，为的左、右焦点，若过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，的周长为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，在轴上是否存在一点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.

7 . 已知椭圆的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A，B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且，求证：线段CD的中点在x轴上．

8 . 已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

9 . 设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足．
(1)当为何值时，点的轨迹为圆，并求出该圆的方程；
(2)当点的轨迹为圆时，设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的右焦点．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为上一点，且面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴的交点为定点，求的值及定点的坐标.