1 . 已知椭圆的离心率为为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过右焦点，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D，若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆短轴的一个四等分点，是椭圆短轴的一个端点，且的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的动直线交椭圆于两点，是轴上不同于点的一点，不论直线的斜率如何变化，总有直线关于轴对称，求点的坐标．

4 . 已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.

5 . 已知椭圆：的长轴为，动点P是椭圆上不同于A，B的任一点，点Q满足，.
（1）求点Q的轨迹的方程；
（2）过点的动直线l交于M，N两点，y轴上是否存在定点S，使得总成立？若存在，求出定点S；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为A，右顶点为B.点在椭圆C内，且直线与直线垂直.
（1）求C的方程；
（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以为直径的圆过点.

7 . 记椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的动直线l与椭圆C交于A，B两点，已知△F₂AB的周长为8且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）请问：x轴上是否存在定点M使得∠F₁MA＝∠F₁MB恒成立，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

8 . 已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率之积为-，记点P的轨迹为曲线C
（I）求曲线C的方程；
（II）若过点（-，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由

10 . 以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于．
1求椭圆的标准方程；
2过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于点，问：以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过轴上的定点，请说明理由．