1 . 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）若，求弦长；
（2）若直线的斜率为2，为坐标原点，求的面积.

2 . 抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.
（1）求拋物线的方程.
（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.

3 . 已知抛物线，点，过点的直线与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合）．
（1）记直线，的斜率分别为，，证明：．
（2）若，且，在轴的两侧，求的面积．

4 . 如图，抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于、两点，当直线与轴垂直时长为.

（1）求抛物线的方程；
（2）若与的面积相等，求直线的方程.

5 . 已知,抛物线与抛物线异于原点的交点为,且抛物线在点处的切线与轴交于点,抛物线在点处的切线与轴交于点,与轴交于点.
(1)若直线与抛物线交于点,且,求抛物线的方程;
(2)证明:的面积与四边形的面积之比为定值.