1 . 已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
(1)求的方程；
(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

2 . 已知抛物线的焦点到准线的距离与双曲线的离心率相等.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点在抛物线上，过作抛物线的两弦与，若两弦所在直线的斜率之积为，求证：直线过定点.

3 . 已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点，关于直线对称．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

4 . 已知抛物线的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值．

5 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.

6 . 设曲线上一点到焦点的距离为3．
（1）求曲线C方程；
（2）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．

7 . 已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线、分别交抛物线于点、和 、，线段和的中点分别为、．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点．