五行八卦在中国传统文化中较为神秘，用来推演空间时间各类事物之间的关系。有一兴趣小组制作了一个“八卦”轨道游戏装置，如图所示，ABC和CDE是半径r = 0.3m的光滑半圆磁性轨道，AFE是半径R = 0.6m的光滑半圆塑料细管道，两轨道在最高点A处前后略有错开（错开距离相对于两个轨道的半径都很小）。左侧有一与水平面夹角θ = 37°，长度L = 1.25m的斜面MN，斜面底端M和轨道最低点E在同一水平面上，在斜面底端有一弹射器用于发射质量m = 0.3kg的小滑块P，在斜面顶端N处有一被插销锁定的相同质量的小钢球Q。某次试验时，将小滑块以初动能Ek= 6.5J发射，到达斜面顶端后与小钢球发生对心弹性撞击，同时小钢球解除锁定，小钢球恰能无碰撞进入塑料细管道的A点，经塑料管道和“八卦”轨道后返回。设小钢球和磁性轨道间的磁力大小恒为F，方向始终与接触面垂直，不考虑小钢球脱离磁性轨道后的磁力。小滑块在斜面上运动时受到的摩擦力大小恒定，小滑块P、小球Q在运动中均可视为质点，忽略空气阻力。（sin37° = 0.6，cos37° = 0.8）求：
（1）Q恰能无碰撞进入细管道时在A点的速度大小vA；
（2）要使Q不脱离磁性轨道，求所需磁力F的最小值；
（3）P从发射到与Q发生碰撞过程中，斜面摩擦力对P做的功Wf；
（4）通过调节斜面长度L和ME间水平距离x，使Q始终能无碰撞地从A点进入细管道，求发射P的初动能Ek与x之间的关系。
（1）Q恰能无碰撞进入细管道时在A点的速度大小vA；
（2）要使Q不脱离磁性轨道，求所需磁力F的最小值；
（3）P从发射到与Q发生碰撞过程中，斜面摩擦力对P做的功Wf；
（4）通过调节斜面长度L和ME间水平距离x，使Q始终能无碰撞地从A点进入细管道，求发射P的初动能Ek与x之间的关系。
更新时间：2022-11-11 22:07:27
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【推荐1】如图示，用一轻弹簧将物块Q和地面相连，处于静止状态。物块P从Q的正上方h处由静止释放，P、Q相碰（时间很短）后立即以相同的速度向下压缩弹簧（P、Q不粘连）。P的质量为m，Q的质量为
m（=1，2，3，…），弹簧的劲度系数为k，弹簧的形变量为x时，弹性势能
。空气阻力不计，PQ运动过程中弹簧始终未超过弹性限度。求：
(1)P自h高处落下与Q碰撞后瞬间的共同速度v共，此过程中损失的机械能
；
(2)若取m=0.10kg，h=0.80m，k=75N/m，重力加速度g=10m/s2，则当取何值时P与Q碰撞后始终以共同的速度运动?
m（=1，2，3，…），弹簧的劲度系数为k，弹簧的形变量为x时，弹性势能。空气阻力不计，PQ运动过程中弹簧始终未超过弹性限度。求：(1)P自h高处落下与Q碰撞后瞬间的共同速度v共，此过程中损失的机械能
；(2)若取m=0.10kg，h=0.80m，k=75N/m，重力加速度g=10m/s2，则当
取何值时P与Q碰撞后始终以共同的速度运动?
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【推荐2】如图所示，
为半径
的
光滑圆弧轨道，水平光滑轨道
左端与圆弧轨道相切于B点，右端C处与水平传送带等高连接，传送带以
的速度逆时针匀速转动，传送带足够长。质量为
的物块乙（可视为质点）静置于C点，物块乙与传送带之间动摩擦因数
，重力加速度g取
。现把质量也为的物块甲（可视为质点）从A点静止释放，所有碰撞都是弹性碰撞，求：
（1）物块甲和物块乙第一次碰撞后各自的速度大小？
（2）当物块乙第6次通过C点时，物块乙和传送带之间因摩擦产生的内能大小？
为半径的光滑圆弧轨道，水平光滑轨道左端与圆弧轨道相切于B点，右端C处与水平传送带等高连接，传送带以的速度逆时针匀速转动，传送带足够长。质量为的物块乙（可视为质点）静置于C点，物块乙与传送带之间动摩擦因数，重力加速度g取。现把质量也为的物块甲（可视为质点）从A点静止释放，所有碰撞都是弹性碰撞，求：（1）物块甲和物块乙第一次碰撞后各自的速度大小？
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【推荐3】如图是一种户外活动的简化图，表面水平的浮板A左边停靠在岸边并静止在水面上，岸边有一个固定的1/4光滑圆弧轨道，圆弧底端与浮板A上表面平滑连接。参加活动的人从圆弧上某位置静止释放滑块B使其滑上A，若B能到达对岸就算获胜；A碰到右岸立即被锁住。已知A的长度、圆弧半径均为d，A、B之间的动摩擦因数为
，A的质量为2m，B的质量为m。若某次B从离地面高度为0.5d的圆弧上静止释放，到达A右端时恰好与A共速，且A刚好到达对岸。B可视为质点，忽略水面的阻力，重力加速度为g。
求：
（1）滑块B到达圆弧底端时，对圆弧的压力大小；
（2）水面宽度
；
（3）若参加活动人员要获胜，滑块B在圆弧轨道上释放的高度范围为。
，A的质量为2m，B的质量为m。若某次B从离地面高度为0.5d的圆弧上静止释放，到达A右端时恰好与A共速，且A刚好到达对岸。B可视为质点，忽略水面的阻力，重力加速度为g。求：
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；（3）若参加活动人员要获胜，滑块B在圆弧轨道上释放的高度范围为。
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【推荐1】如图所示，在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆弧形槽，半径R=0.45m，末端与桌面相切。将质量m0.1kg的小球（可视为质点）由槽的顶端无初速度释放，经桌面上A点水平飞出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，B、C为圆弧的两端点，其连线水平，O为圆弧最低点。已知圆弧对应圆心角106°，半径r1m。取g10m/s2，sin37°0.6，cos37°0.8。求：
（1）小球沿弧形槽下滑到槽底端时，球的速度大小；
（2）桌面离水平地面的高度h；
（3）小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小。
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（2）桌面离水平地面的高度h；
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【推荐2】如图所示为某种弹射小球的游戏装置，由内置弹簧发射器的光滑直管道PA和光滑圆管道ABC平滑相接，粗糙斜面CD上端与管道ABC末端相切于C点，下端通过一段极小圆弧（图中未画出）与粗糙水平面DE平滑连接，半径R=2.0m的光滑半圆轨道竖直固定，其最低点E与水平面DE相接，F为其最高点．每次将弹簧压缩到同一位置后释放，小球即被弹簧弹出，经过一系列运动后从F点水平射出．已知斜面CD与水平面DE的长度均为L=5m，小球与斜面及水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2，其余阻力忽略不计，角θ=37℃，弹簧的长度、小球大小、管道直径均可忽略不计，若小球质量m=0.1kg，则小球到达管F时恰好与管口无挤压．求：
（1）弹簧的弹性势能大小Ep；
（2）改变小球的质量，小球通过管口F时，管壁对小球的弹力FN也相应变化，写出FN随小球质量m的变化关系式并说明的FN方向．
（1）弹簧的弹性势能大小Ep；
（2）改变小球的质量，小球通过管口F时，管壁对小球的弹力FN也相应变化，写出FN随小球质量m的变化关系式并说明的FN方向．
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【推荐3】如图所示，在高h1=30m的光滑水平平台上，物块A以初速度v0水平向右运动，与静止在水平平台上的物块B发生碰撞，mB=2mA，碰撞后物块A静止，物块B以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好沿光滑圆弧形轨道BC的B点的切线方向进入圆弧形轨道，B点的高度h2=15m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长为L=70m的水平粗糙轨道CD平滑连接，物块B沿轨道BCD运动与右边墙壁发生碰撞。g取10m/s2。求：
（1）物块B由A运动到B的时间；
（2）物块A初速度v0的大小；
（3）若物块B与墙壁只发生一次碰撞，碰后速度等大反向，反向运动过程中没有冲出B点，最后停在轨道CD上的某点p（p点未画出）。设物块B与轨道CD之间的动摩擦因数为μ，求μ的取值范围.
（1）物块B由A运动到B的时间；
（2）物块A初速度v0的大小；
（3）若物块B与墙壁只发生一次碰撞，碰后速度等大反向，反向运动过程中没有冲出B点，最后停在轨道CD上的某点p（p点未画出）。设物块B与轨道CD之间的动摩擦因数为μ，求μ的取值范围.
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【推荐1】如图所示，半径R=
m的光滑四分之一圆弧面BDE与斜面EF相切于E点，C为圆弧圆心，D为圆弧最低点，θ=30°．一长为L=1.6m的轻质细线一端固定在
点，另一端系一质量为m=2kg的小滑块，现将细线拉至与竖直方向成α=60角，这时小滑块静止在位置P，小滑块从位置P由静止释放，到达O点正下方A点时，细线刚好被拉断，然后恰好经过B点，且沿切线方向进入BDEF轨道，已知：小滑块与斜面EF之间的动摩擦因数，图中各点都在
同一竖直面内，重力加速度g=10 m/s2．求：
（1）绳子的最大拉力；
（2）A、B两点的竖直距离；
（3）在斜面EF总的滑行距离．
m的光滑四分之一圆弧面BDE与斜面EF相切于E点，C为圆弧圆心，D为圆弧最低点，θ=30°．一长为L=1.6m的轻质细线一端固定在点，另一端系一质量为m=2kg的小滑块，现将细线拉至与竖直方向成α=60角，这时小滑块静止在位置P，小滑块从位置P由静止释放，到达O点正下方A点时，细线刚好被拉断，然后恰好经过B点，且沿切线方向进入BDEF轨道，已知：小滑块与斜面EF之间的动摩擦因数，图中各点都在同一竖直面内，重力加速度g=10 m/s2．求：（1）绳子的最大拉力；
（2）A、B两点的竖直距离；
（3）在斜面EF总的滑行距离．
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【推荐2】如图所示，倾角θ=37°的斜面AB长为L1=1m，通过平滑的小圆弧与水平直轨道BC连接，CD、DE为两段竖直放置的四分之一圆管，两管相切于D处、半径均为R=0.125m。右侧有一倾角α=30°的光滑斜面PQ固定在水平地面上。一质量为m=0.2kg、可视为质点的小物块从斜面AB顶端由静止释放，经ABCDE轨道从E处水平飞出后，恰能从P点平行PQ方向飞入斜面。小物块与斜面AB的动摩擦因数μ1=0.25，与BCDE段摩擦不计，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小物块到达C点时对轨道的压力大小；
（2）E点与P点的水平距离；
（3）若斜面PQ上距离P点L2=0.2m的M点下方有一段长度可调的粗糙部分MN，其调节范围为0.2m≤L≤0.5m，与小物块间的动摩擦因数µ2=
，斜面底端固定一轻质弹簧，弹簧始终在弹性限度内，且不与粗糙部分MN重叠，求小物块在MN段上运动的总路程s与MN长度L的关系式。
（1）小物块到达C点时对轨道的压力大小；
（2）E点与P点的水平距离；
（3）若斜面PQ上距离P点L2=0.2m的M点下方有一段长度可调的粗糙部分MN，其调节范围为0.2m≤L≤0.5m，与小物块间的动摩擦因数µ2=
，斜面底端固定一轻质弹簧，弹簧始终在弹性限度内，且不与粗糙部分MN重叠，求小物块在MN段上运动的总路程s与MN长度L的关系式。
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【推荐3】如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=2kg的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ=0.5，在台阶右侧固定了一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R=3m，圆弧的圆心也在Ｏ点。今以Ｏ点为原点建立平面直角坐标系。现用F=20N的水平恒力拉动小物块，到O点时撤去拉力，小物块水平抛出并击中挡板(g取10m/s²)则：
(2)改变拉力F的作用时间，可使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时速度的最小值和击中点的位置坐标。(结果可保留根式)
(2)改变拉力F的作用时间，可使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时速度的最小值和击中点的位置坐标。(结果可保留根式)
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(0.4)
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【推荐1】如图所示，有一倾角
的固定斜面，斜面底端固定有一垂直斜面的挡板P，将质量
的“
”形木板（前端挡板厚度忽略）单独从斜面上端由静止释放，释放时木板下端到挡板P的距离
，木板与挡板P发生碰撞，速率减为碰前的一半，碰后沿斜面上升的最大距离为
。若将质量
的光滑物块（视为质点）放在木板最上端并同时由静止释放（木板位置与上次释放时初位置相同），物块与木板前端挡板碰撞后立刻粘合在一起，木板与挡板P碰后速率均为碰前速率的一半。已知木板长
，
，
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）木板与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块与木板前端挡板碰撞过程中系统损失的机械能；
（3）物块与木板前端挡板碰撞后开始计时，到木板第2次速度减为零时，这个过程中木板滑行的总路程。
的固定斜面，斜面底端固定有一垂直斜面的挡板P，将质量的“”形木板（前端挡板厚度忽略）单独从斜面上端由静止释放，释放时木板下端到挡板P的距离，木板与挡板P发生碰撞，速率减为碰前的一半，碰后沿斜面上升的最大距离为。若将质量的光滑物块（视为质点）放在木板最上端并同时由静止释放（木板位置与上次释放时初位置相同），物块与木板前端挡板碰撞后立刻粘合在一起，木板与挡板P碰后速率均为碰前速率的一半。已知木板长，，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：（1）木板与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块与木板前端挡板碰撞过程中系统损失的机械能；
（3）物块与木板前端挡板碰撞后开始计时，到木板第2次速度减为零时，这个过程中木板滑行的总路程。
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解题方法
【推荐2】如图，固定在竖直平面上的半径
的光滑半圆轨道AB与光滑水平地面在A点相切，在半圆轨道的最低点A设置一压力传感器，压力传感器上放置一质量
的小球乙，水平地面左侧放置一质量
、半径
的光滑四分之一圆弧轨道丁。用外力将物块甲和物块丙压缩轻弹簧并保持静止，某一时刻突然同时撤去外力，轻弹簧将物块丙、甲分别向左右两边水平弹出，物块丙、甲被弹开后，立即拿走轻弹簧，经过一段时间后，物块丙将滑上圆弧轨道丁，物块甲则与小球乙发生弹性碰撞，碰撞后瞬间压力传感器的示数为111N。已知物块甲和物块丙的质量均为
，重力加速度g取
，甲、乙、丙均可视为质点，C为四分之一圆弧轨道的最高点，B为半圆轨道的最高点，空气阻力不计，轻弹簧始终在弹性限度内。
（1）求物块甲被轻弹簧弹开后获得的速度大小。
（2）求轻弹簧的弹性势能及物块丙滑上丁后上升的最大高度处与C点的高度差。
（3）求小球乙运动到B点时对轨道的压力大小、小球乙落地点到A点的距离和小球乙落地时速度方向与水平方向夹角的正切值。
的光滑半圆轨道AB与光滑水平地面在A点相切，在半圆轨道的最低点A设置一压力传感器，压力传感器上放置一质量的小球乙，水平地面左侧放置一质量、半径的光滑四分之一圆弧轨道丁。用外力将物块甲和物块丙压缩轻弹簧并保持静止，某一时刻突然同时撤去外力，轻弹簧将物块丙、甲分别向左右两边水平弹出，物块丙、甲被弹开后，立即拿走轻弹簧，经过一段时间后，物块丙将滑上圆弧轨道丁，物块甲则与小球乙发生弹性碰撞，碰撞后瞬间压力传感器的示数为111N。已知物块甲和物块丙的质量均为，重力加速度g取，甲、乙、丙均可视为质点，C为四分之一圆弧轨道的最高点，B为半圆轨道的最高点，空气阻力不计，轻弹簧始终在弹性限度内。（1）求物块甲被轻弹簧弹开后获得的速度大小。
（2）求轻弹簧的弹性势能及物块丙滑上丁后上升的最大高度处与C点的高度差。
（3）求小球乙运动到B点时对轨道的压力大小、小球乙落地点到A点的距离和小球乙落地时速度方向与水平方向夹角的正切值。
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解答题
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(0.4)
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【推荐3】“鲁布·戈德堡机械”是用迂回曲折的连锁机械反应完成一些简单动作的游戏。图为某兴趣小组设计的该类游戏装置：
是半径为2L的光滑四分之一圆弧轨道，其末端B水平；在轨道末端等高处有一质量为m的“
”形小盒C（可视为质点），小盒C与质量为3m，大小可忽略的物块D通过光滑定滑轮用轻绳相连，左侧滑轮与小盒C之间的绳长为2L；物块D压在质量为m的木板E左端，木板E上表面光滑、下表面与水平桌面间动摩擦因数
=0.5（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），木板E右端到桌子右边缘固定挡板（厚度不计）的距离为L；质量为m且粗细均匀的细杆F通过桌子右边缘的光滑定滑轮用轻绳与木板E相连，木板E与定滑轮间轻绳水平，细杆F下端到地面的距离也为L；质量为m的圆环（可视为质点）套在细杆F上端，环与杆之间滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，大小为
mg。开始时所有装置均静止，现将一质量为m的小球（可视为质点）从圆弧轨道顶端A处由静止释放，小球进入小盒C时刚好能被卡住（作用时间很短可不计），然后带动后面的装置运动，木板E与挡板相撞、细杆F与地面相撞均以原速率反弹，最终圆环刚好到达细杆的底部。不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）小球与小盒C相撞后瞬间，与小盒C相连的绳子上的拉力大小；
（2）木板E与挡板第一次相撞瞬间的速度大小；
（3）细杆F的长度以及木板E运动的总路程。
是半径为2L的光滑四分之一圆弧轨道，其末端B水平；在轨道末端等高处有一质量为m的“”形小盒C（可视为质点），小盒C与质量为3m，大小可忽略的物块D通过光滑定滑轮用轻绳相连，左侧滑轮与小盒C之间的绳长为2L；物块D压在质量为m的木板E左端，木板E上表面光滑、下表面与水平桌面间动摩擦因数=0.5（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），木板E右端到桌子右边缘固定挡板（厚度不计）的距离为L；质量为m且粗细均匀的细杆F通过桌子右边缘的光滑定滑轮用轻绳与木板E相连，木板E与定滑轮间轻绳水平，细杆F下端到地面的距离也为L；质量为m的圆环（可视为质点）套在细杆F上端，环与杆之间滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，大小为mg。开始时所有装置均静止，现将一质量为m的小球（可视为质点）从圆弧轨道顶端A处由静止释放，小球进入小盒C时刚好能被卡住（作用时间很短可不计），然后带动后面的装置运动，木板E与挡板相撞、细杆F与地面相撞均以原速率反弹，最终圆环刚好到达细杆的底部。不计空气阻力，重力加速度为g，求：（1）小球与小盒C相撞后瞬间，与小盒C相连的绳子上的拉力大小；
（2）木板E与挡板第一次相撞瞬间的速度大小；
（3）细杆F的长度以及木板E运动的总路程。
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