【推荐1】如图所示，倾角为30°的足够长斜面固定于水平面上，轻滑轮的顶端与固定于竖直平面内圆环的圆心O及圆环上的P点在同一水平线上，细线一端与套在环上质量为m的小球相连，另一端跨过滑轮与质量为M的物块相连。在竖直向下拉力F作用下小球静止于Q点，细线与环恰好相切，OQ、OP间成53°角。撤去拉力后小球运动到P点时速度恰好为零。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
（1）拉力的大小F；
（2）物块和小球的质量之比；
（3）小球从Q点开始向上运动时，细线中张力T的大小。

【推荐3】如图所示，横截面为等腰三角形的光滑斜面，倾角θ=30°，斜面足够长，且斜面上有两个物块B和C，用轻弹簧连接，它们的质量分别为2m和m，弹簧的劲度系数为k，D为一固定挡板，B与质量为6m的A通过不可伸长的轻绳绕过光滑定滑轮相连接。现固定A，此时绳子伸直无弹力，系统处于静止状态，然后由静止释放A使之沿斜面向下运动，当C刚离开D时，A的速度为v，则
(1)物块C从静止到刚离开D的过程中，重力对B做的功为多少？
(2)物块C刚离开D时，A的加速度为多少？
(3)物块C从静止到刚离开D过程中，弹簧弹性势能的变化量是多少？

【推荐2】2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。
（1）为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为，火星的公转周期为。
a．已知地球公转轨道半径为，求火星公转轨道半径；
b．考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔。
（2）火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“远火点平面机动”，俗称“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为的探测器沿1号轨道到达B点时速度为，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。求喷出气体速度u的大小；
（3）B点到火星球心的距离为，火星质量为。探测器在以B为远火点的椭圆轨道2上运行时轨道近火点C（图中未标出）到火星球心的距离为（未知）。已知引力势能，其中M为产生引力场物体（中心天体）的质量，m为研究对象的质量，G为引力常量，r为两者质心的距离，求探测器沿2号轨道运动至近火点的速度的大小。

【推荐3】如图所示，固定的光滑半圆轨道直径竖直，B点与足够长光滑水平平台左端平滑连接，平台右端与长、顺时针转动的水平传送带平滑无缝对接。在平台上静止着两个小滑块甲、乙，质量分别为，两滑块间有一被压缩的轻弹簧（滑块与轻弹簧间不拴接）。现释放弹簧，两滑块在平台上被弹出，滑块甲恰好能到半圆轨道的最高点A，滑块乙从传送带右端离开后，落在水平地面上的E点。已知滑块乙被弹出的速度，与传送带间的动摩擦因数，D点距地面高滑块均可视为质点，重力加速度g取，求：
（1）半圆轨道的半径R；
（2）被压缩的轻弹簧的弹性势能；
（3）若传送带的速度可在间调节，滑块乙落点E与D点间水平距离x的大小（结果可以含有v）。