【推荐1】如图，已知四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为（，4），将△OCB绕点O顺时针旋转90°后得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．

（1）求点D的坐标为_______，点E的坐标为______；
（2）求S_△BOH：S_△BOD的值；
（3）若点M在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象经过点，点是抛物线上一点不与点重合，其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，求的取值范围；
(3)当矩形内部的图象包括边界的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
(4)设点的纵坐标为，当该抛物线上有四个点到直线的距离是到直线距离的倍时，直接写出的取值范围．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、向终点B运动，设P点运动的时可为t秒（0＜t＜10）．

(1)当△POD的面积等于9时，点P的坐标为           ：
(2)当点P在OA上运动时，连接CP．问：是否存在某时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当t为何值时，点B关于直线PD的对称点恰好落在直线OP上．

【推荐1】如图①，在矩形中，动点从出发，以相同的速度，沿 方向运动到点处停止.设点运动的路程为, 面积为，与的函数图象如图②所示.
(1)矩形的面积为        ;
(2)如图③，若点沿边向点以每秒1个单位的速度移动，同时，点从点出发沿边向点以每秒2个单位的速度移动.如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题:
①当运动开始秒时，试判断的形状;
②在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以为圆心，的长为半径的圆与矩形的对角线相切，若存在，求出运动时间;若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A，B在第一象限内．
（1）求点E的坐标及线段AB的长；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连结PN,设PE=x.△PMN的面积为S.
①求S关于x的函数关系式；
②△PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由.若存在，求出面积的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）.设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′（如图3）;试探究：在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式.

【推荐3】如图，在中，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动，点始终为线段的中点．当点与点不重合时，过点作，交边或于点，以，为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为（平方单位），点的运动时间为．

（1）将的长度用含的代数式表示；
（2）求矩形的对角线互相垂直时的值；
（3）当重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式；
（4）设点关于直线的对称点为点，矩形的对角线交点为，直接写出时的取值．