4 . 如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质．

   

小南根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．
(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的满足筝形的定义的四边形是          ；
(2)小南通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．
请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图，在筝形中，，，
求证：          ．
证明：
(3)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质；筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，角，对角线等方面写出筝形的其他性质（一条即可）          ．

5 . 【问题情境】：如图，在中，，于，，，求的长．
【问题解决】小明同学是这样分析的：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，延长、相交于点，设为，在中运用勾股定理，可以求出的长．

（1）说明四边形是正方形；
（2）求出的长．
【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题：
（3）如图，四边形中，，，，，求的最大值．
（4）如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值为      （直接写出结果）

7 . 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

   

(1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
(2)如图2，在的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上．
(3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，，求邻余线的长．

8 . 已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，．

(1)如图，若，求的长；
(2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形．

9 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；

【规律初探】
（2）如图2，正方形的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积的取值范围；

【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求的值．

10 . 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）；
(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”；

(3)如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．