1 . 如图，有一张矩形纸条，，，点M，N分别在边，上，．现将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，．

(1)在图①中，当点恰好落在边上时，求线段的长度；
(2)在图②中，点M从点A向点B运动的过程中，若线段与边交于点E，在此运动过程中，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，若O为的中点，猜想点O的运动路径并求出它的长度．

3 . 如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O．

(1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为         ．

4 . 如图，在菱形中，，过点D作的垂线，交的延长线于点H．点F从点B出发沿方向以向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿方向以向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且，过F作于点G，连结．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连结，点F，E在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

5 . 综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：___________．
【问题解决】
（2）如图3，当，，时，求证：点，，在同一条直线上．
【深入探究】
（3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由．
（4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由．

6 . 已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，．

(1)如图，若，求的长；
(2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形．

7 . 如图，在矩形中，，，连接．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动．当点不与矩形的顶点重合时，以为对角线作正方形（点在直线的右侧）．设正方形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒．

(1)当点在线段上时，用含的代数式表示的长；
(2)当时，求t的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．

8 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；

（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

9 . 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．以，为邻边的平行四边形的边与交于点．设运动时间为，单位：s）．

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接BE．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接BM，直接写出长的最小值．

10 . 【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
（1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点在格点上；

（2）如图2，在等邻边四边形中，，，，，求的长；

【拓展提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，已知是的中点，在矩形内部或边上，存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，请直接写出四边形的最大面积__________，此时点的坐标为__________．