1 . 问题情境：如图1，在矩形中，，．E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．

猜想验证：
（1）填空：的长为________；
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到，与交于点F，与交于点G．
①连接，．图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来，再选其中一个，进行证明；
②求的长；
拓展研究：
（3）如图3，将绕点B按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点M和点N．当时，分别求出的值和线段的长．

2 . 欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点E，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点B的新位置F，因而，类似地，在上折出点M使．下列线段中，其长度是方程的一个根的是（       ）

A．线段

B．线段

C．线段

D．线段

3 . 一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处．

(1)若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标．
(2)在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积．
(3)若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标．

4 . 如图，在边长为7的正方形中，为边上一点，为边上一点，连接、，将沿折叠，使点恰好落在边上的处，若，则的长度为（          ）

A．

B．

C．

D．2

6 . 如图是一张直角三角形纸片，，，．

(1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；
(2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．

7 . 四边形纸片中，点E，F分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点A处，再将、分别沿折叠，点，D落在上的同一个点G处，请完成下列探究：的大小为______°；当四边形是菱形，点G为中点且时，四边形纸片的面积为______．

   

8 . 如图，中，，D，E分别在上，将沿折叠，使点C落在边上的点F处，且，折痕为．

(1)求的度数；
(2)若，求AE的长．

9 . 如图，是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的点处，连接，当为等腰三角形时，的长为______

10 . 如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．