1 . （1）列方程解几何题是常用解题方法，如图，
中，
，
比
大1，
，求的长．
解：设为x，则
，在中．
．
列方程得：_________________，解得：
______________．
（2）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边
，
，现将直角边沿直线
折叠，使它恰好落在斜边上，且与
重合，求
的长．
（3）如图，在中，
，
是线段的垂直平分线，垂足为O，
，且
，
，则的长为__________（直接写结果）．
中，，比大1，，求的长． 解：设
为x，则，在中．．列方程得：_________________，解得：
______________．（2）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边
，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合，求的长． （3）如图，在
中，，是线段的垂直平分线，垂足为O，，且，，则的长为__________（直接写结果）．
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2 . 欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程
的方法，类似地可以用折纸的方法求方程
的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片
，先折出
的中点E，再折出线段，然后通过折叠使
落在线段
上，折出点B的新位置F，因而
，类似地，在上折出点M使
．下列线段中，其长度是方程
的一个根的是（ ）
的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点E，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点B的新位置F，因而，类似地，在上折出点M使．下列线段中，其长度是方程的一个根的是（ ）
A．线段 | B．线段 | C．线段 | D．线段 |
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2024-05-09更新
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99次组卷
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3卷引用：2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题
3 . 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程
的一个正根．如图，一张边长为
的正方形的纸片，先折出，的中点
，
，再沿过点
的直线折叠，使点A落在线段
上（即
处），折痕为
，点
在边上，连接
，
，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）
的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠，使点A落在线段上（即处），折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）A． | B． | C． | D． |
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4 . 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法．类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段AE上，标注点B的新位置F，则． 类似地，再在AB上折出点M使，则表示方程的一个正根的是（ ）
的方法．类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段AE上，标注点B的新位置F，则． 类似地，再在AB上折出点M使，则表示方程的一个正根的是（ ）| A．线段BM的长 | B．线段AM的长 |
| C．线段BE的长 | D．线段AE的长 |
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2022-05-06更新
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811次组卷
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12卷引用：2020年湖北省武汉市北水湖九年级模拟题
2020年湖北省武汉市北水湖九年级模拟题福建省泉州市南安市十校联考2020-2021学年九年级上学期数学期中数学试题四川省达州市开江县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题华东师大版2020-2021学年九年级数学上学期期中测试卷022022年福建省厦门市湖里中学中考数学诊断试题（已下线）专题21.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题2.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）浙江省杭州市杭州外国语学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题广东省佛山市南海区西樵镇2022-2023学年九年级上学期期中联考数学测试卷广东省佛山市南海区2022-2023学年九年级上学期11月期中数学试题2023年湖北省武汉市新观察中考四调数学试题广东省佛山南海区西樵镇西樵中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
5 . （1）若分式
有意义，则x的取值范围是__ ．
（2）在平面直角坐标系中，点P(﹣4，3)到原点O的距离是____ ．
（3）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_____ ．
（4）化简
的结果为____ ．
（5）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么BF＝_______ ．
有意义，则x的取值范围是（2）在平面直角坐标系中，点P(﹣4，3)到原点O的距离是
（3）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为
（4）化简
的结果为（5）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么BF＝
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6 . 将一个直角三角形纸片
放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点B在第一象限，
，
，点P在边
上（点P不与点O，B重合）．
(1)如图①，当
时，求点P的坐标；
(2)如图②，折叠该纸片，使折痕
所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点
的对应点为
，设
．
与
重叠部分的面积为S．
①若折叠后与重叠部分的面积为四边形时，
与相交于点C，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当
时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点O，B重合）．(1)如图①，当
时，求点P的坐标；(2)如图②，折叠该纸片，使折痕
所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点的对应点为，设．与重叠部分的面积为S．①若折叠后
与重叠部分的面积为四边形时，与相交于点C，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当
时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
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7 . 将一个等腰直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点
，点在第一象限，，
，点
在边上（点不与点，重合）．
(1)如图①，当
时，求点的坐标；
(2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并垂直于
轴的正半轴，垂足为
，点的对应点为，设
．
①如图②，若折叠后
与重叠部分为四边形，
与边相交于点
，试用含有
的式子表示四边形
的面积
，并直接写出的取值范围；
②若折叠后与
重叠部分的面积为，当
时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点在边上（点不与点，重合）．图① 图②
(1)如图①，当
时，求点的坐标；(2)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点
，并垂直于轴的正半轴，垂足为，点的对应点为，设．①如图②，若折叠后
与重叠部分为四边形，与边相交于点，试用含有的式子表示四边形的面积，并直接写出的取值范围；②若折叠后
与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
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名校
8 . 综合与实践：折纸中的数学
[问题背景]
在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
老师提出问题：如图1，把Rt△ABC沿着直线DE折叠，D、E分别是AB和BC上的点，顶点B的对应点B'恰好落在线段AC的中点处，求CE的长．
接下来各学习小组先解决老师提出的问题，然后动手操作起来，发现很多有趣的数学问题，请你解决他们提出的问题．
[解决问题]
(1)“勤奋“小组解答老师提出的问题的过程如下：（填空）
解：由折叠可知，B'E＝
设CE＝x，则B'E＝6﹣x；
在Rt△B'CE中，由勾股定理列方程得，
解得x＝ ；即CE的长为
(2)[深入探究]“奋斗”小组将直角三角形纸片ABC按图2方式折叠，点B'落在线段AC上，发现当四边形B'EBD为菱形，求B'C的长有点困难；
“夺冠“小组的思路是：连接B'B，过点B'作B'F⊥AB于点F，根据等积法，⋯.
请你参照“夺冠”小组的思路或其他方法求出B'C的长．
(3)[拓展探究]“探究”小组发现，如图3，若E是BC的中点，点D在线段AB运动，将直角三角形纸片ABC按图3方式折叠，连接AB'，AB'是否存在最小值；若存在，请你直接写出AB'的最小值；若不存在，请简要说明理由．
[问题背景]
在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
老师提出问题：如图1，把Rt△ABC沿着直线DE折叠，D、E分别是AB和BC上的点，顶点B的对应点B'恰好落在线段AC的中点处，求CE的长．
接下来各学习小组先解决老师提出的问题，然后动手操作起来，发现很多有趣的数学问题，请你解决他们提出的问题．
[解决问题]
(1)“勤奋“小组解答老师提出的问题的过程如下：（填空）
解：由折叠可知，B'E＝
设CE＝x，则B'E＝6﹣x；
在Rt△B'CE中，由勾股定理列方程得，
解得x＝ ；即CE的长为
(2)[深入探究]“奋斗”小组将直角三角形纸片ABC按图2方式折叠，点B'落在线段AC上，发现当四边形B'EBD为菱形，求B'C的长有点困难；
“夺冠“小组的思路是：连接B'B，过点B'作B'F⊥AB于点F，根据等积法，⋯.
请你参照“夺冠”小组的思路或其他方法求出B'C的长．
(3)[拓展探究]“探究”小组发现，如图3，若E是BC的中点，点D在线段AB运动，将直角三角形纸片ABC按图3方式折叠，连接AB'，AB'是否存在最小值；若存在，请你直接写出AB'的最小值；若不存在，请简要说明理由．
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