【推荐1】如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）；
(2)在图（2）中，以为边作一个矩形．

【推荐2】阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．

      

这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．
证明：如图2，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点．
，分别为，的中点，
，．（依据1）
易知．
四边形是瓦里尼翁平行四边形，
，即．
，即，
四边形是平行四边形．（依据2）
．
，
，同理，…
任务：
(1)材料中的依据1是指：______，依据2是指：______，并补全证明．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
(3)在图1中，分别连接，，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线、长度的关系，并证明你的结论．

【推荐3】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．

（1）设AP的长为x，则PC＝　 　，QC＝　 　；
（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（3）过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，则EP，QF有怎样的关系？说明理由；
（4）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长

【推荐2】如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点．

（1）求证：；
（2）延长至，使，连接，延长，交于点．
①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由；
②若，，，求四边形的面积．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．

(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
(2)已知，若是抛物线上一个动点（其中），连接，，，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．

（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．

【推荐2】已知四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．

(1)如图，求证：；
(2)直线与相交于点，
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，请直接写出在旋转的过程中线段长度的最小值．（提示：过点作于点，过点作于点）

【推荐3】（1）如图1，在正方形中，E是上一点，连接，过点C作交的延长线于点F．求证：．
（2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，，求的长．

【推荐1】【了解概念】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

(1)如图1，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的网格中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上；
(2)如图2，在等邻边四边形中，，，，，求四边形的面积；
【拓展提升】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，已知，，D是的中点在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形的顶点A在x轴的正半轴上，，，点P，点Q分别是边，边上的点，连结，，点B₁是点B关于的对称点．

（1）若四边形为长方形，如图1，
①若点P，点Q分别是边，边上中点，求直线的解析式；
②若，且点落在上，求点的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，如图2，且，过点作轴，与对角线，边分别交于点E，点F．若，点的横坐标为m，求点的纵坐标（用含m的代数式表示）

【推荐3】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图，四边形是“等对角四边形”，，，，则．

（1）已知：在“等对角四边形”中，，，，，求对角线的长；
（2）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形是“等对角四边形”，其中，，，点在轴上，抛物线过点、，点在抛物线上，满足的点至少有3个时，总有不等式成立，求的取值范围．