【推荐1】如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点
P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得
到△A₁B₁P,连结AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F.
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关
系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP="β" . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△
AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面积为
S，求S关于x的函数关系式.

【推荐3】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三点是格点，点D，E为非格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
   
(1)如图1，在上画点F，使；在上画一点G，使；
(2)如图2，在上画点H，使最小；
(3)如图3，在上画点M，使．

【推荐1】如图，在中，，，，是的外接圆，是延长线上一点，且，连接，点是射线上的动点
          
（1）求证：是的切线；
（2）的长度为多少时，的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；
（3）点运动的过程中，的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．

【推荐2】问题发现：
（1）如图1，内接于半径为4的，若，则_______；

问题探究：
（2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值；
解决问题
（3）如图3，一块空地由三条直路（线段、AB、）和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.

【推荐2】已知：中，是直径，弦．
如图1，求证：

如图2，点在圆上，连接，若，求的值；

如图3，在的条件下，分别延长线段交于点，过作于，连接，若，求的长．

【推荐3】如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB＝BC，∠DAC＝30°，延长AC到E使得CE＝CD，作射线ED交BO的延长线与F，BF交AD与G．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）求证：EF与⊙O相切；
（3）若AO＝2，求△FGD的周长．