【推荐1】已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若b＝1，a＝﹣c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若a0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y1，求4a+b²的取值范围；
（3）若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁•y₂＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点与点M的中点为Q，称点Q为点P的关于点M的“平移中点”．
(1)已知点．
①若点，则点Q的坐标是______；
②若点P在直线l：上运动，当点Q在第二象限时，求点P的横坐标c的取值范围．
(2)已知菱形的顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，点是菱形上的动点．当点在直线l：上运动过程中，若存在点Q在菱形的边上或者内部，直接写出a的取值范围．

【推荐3】已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
(1)求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
(2)将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
(3)已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．

【推荐1】如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，与y轴交于C(0，3)，顶点为D(1,4)，对称轴为DE.
（1）抛物线的解析式是       ；
（2）如图（2），点P是AD上的一个动点，是P关于DE的对称点，连结PE，过作F∥PE交x轴于F. 设，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线解析式；
（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A，O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE＝AD，求m的值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，抛物线交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点T在抛物线上，且，求点T的坐标；
(3)如图3，将线段绕点C逆时针旋转至（），轴于H，点P为的内心，直接写出的最小值 ___________．

【推荐1】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是        
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1所示，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与轴交于C．

(1)求的面积；
(2)如图2所示，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点E，过点P作直线交轴于点F，请求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线向左平移个单位，得到新拋物线，点M是新拋物线对称轴上一点，N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点为顶点的菱形的点N的坐标，并写出其中一个点N坐标的求解过程．

【推荐2】如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．

⑴当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
⑵若a、b、c满足了
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．