【推荐1】如图 1，点 O 在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O 以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．
（1）图1中与互补的角有                                ．
（2）当，求旋转的时间．
【操作二】：如图 2 将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图 3，在三角尺绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．
试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是：     ．

           

【推荐2】如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．
（1）当点P、Q相遇时，t ＝      ，MN ＝     ．
（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．
[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON ＝ α，∠POQ ＝ β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）

【推荐3】如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中．

(1)若，则的取值范围是                 ；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由．

【推荐1】已知，、分别是，的角平分线．
   
(1)如图1，若，，则 =     ；
(2)如图1，若，，能否求出的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；
(3)如图2，若，，是否仍然能求出的度数，若能，求的度数（用含或的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律 ．

【推荐2】如图，平分，，且，求和的度数．

【推荐3】如图，直线、相交于O，平分，，，求和的度数．

【推荐1】已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M、N分别为射线AB、AD上一点．
（1）若∠ABC＝60°，求∠ADC的大小；
（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF；
（3）如图②，若BE，DE分别n等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试用含n的式子表示∠E的度数．

【推荐2】【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，点在延长线上，，求证：．
①如图2，小军同学从这个条件出发给出如下解题思路：延长交于点，使这两条平行线被直线所截．
②如图3，小博同学从求证的结论出发给出如下解题思路：连接，使直线与直线被直线所截．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都很好地构造出截线与两条平行线相交，从而转化角，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师提出下面问题，请你解答．如图4，直线的顶点在直线上，的顶点在直线上，．求证：．

【学以致用】
（3）如图5，直线，点分别在直线上，点在直线之间，，平分平分，直接写出的度数．

【推荐3】如图，已知．

(1)若平分，，求的度数；
(2)若，求AC的长．

【推荐1】如图，在四边形中，，与，相邻的外角都是．求的外角的度数．

【推荐2】如图，已知射线的端点O在直线上．
   
(1)用直尺和圆规画的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)当时，在图中找出所有与互补的角，这些角是______；
(3)如果比的一半多，那么______．

【推荐3】如图，直线、相交于点O，平分，，．求的度数．