【推荐1】如图1，给定一个正方形，要通过裁剪将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次裁剪分割成4个互不重叠的正方形，得到图2，称之为1个基本操作；第2次裁剪分割成7个互不重叠的正方形，得到图3，称之为2个基本操作……以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中裁剪．

（1）5个基本操作后，共裁剪成______个正方形；100个基本操作后，共裁剪成______个正方形；
（2）经过若干次基本操作后，能否得到2021个互不重叠的正方形？若能，求出是几个基本操作后得到的；若不能，请说明理由．

【推荐2】【问题提出】
相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，但是每次只能移动1个金属片，且较大的金属片不能放在较小的金属片上面．则至少需要移动多少次？
【问题探究】
为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
设是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数．
探究一：当时，显然．
探究二：当时，如图①所示．

探究三：当时，如图②所示．

探究四：当时，先用的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即__________．
探究五：当时，仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．）
【结论归纳】
若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动次__________（用含a的代数式表示）．
【问题解决】
若将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动__________次．
【拓展延伸】
若在原来游戏规则的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动__________次．

【推荐3】探究一，模型再现：m条直线最多可以把平面分割成多少个部分？
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＝7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；
平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋3＋4＝11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；……

探究二，类比迁移：n个圆最多可以把平面分割成多少个部分？
如图4，很明显，平面中画出1个圆时，会得到1＋1＝2个部分；所以，1个圆最多可以把平面分割成2个部分；
如图5，平面中画出第2个圆时，新增的一个圆与已知的1个圆最多有2个交点，这2个交点会把新增的这个圆分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1＋1＋2＝4个部分，所以，2个圆最多可以把平面分割成4个部分；
如图6，平面中画出第3个圆时，新增的一个圆与已知的2个圆最多有4个交点，这4个交点会把新增的这个圆分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＝8个部分，……

平面中画出第4个圆时，新增的一个圆与已知的3个圆最多有6个交点，这6个交点会把新增的这个圆分成6部分，从而多出6个部分，即总共会得到1＋1＋2＋4＋6＝14个部分，……
(1)5条直线最多可以把平面分割成______个部分；
(2)m条直线最多可以把平面分割成______个部分（用m的代数式表示）；
(3)5个圆最多可以把平面分割成______个部分；
(4)n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用n的代数式表示）；
(5)如果n个圆最多可以把平面分割成508个部分，求n的值（要求写出解答过程）；
(6)5条直线和1个圆最多可以把平面分割成______个部分；
(7)m条直线和n个圆最多可以把平面分割成______个部分（用m、n的代数式表示）．