【推荐1】如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．

(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为        ；
(2)当△BPQ与△COQ相似时，求t的值；
(3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．

【推荐2】如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为      ；
（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持（1）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有      个．

【推荐3】如图所示，在中，，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动（点不与点，重合），以为边在上方作等腰直角三角形，使，，将绕的中点旋转得到，设四边形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
   
(1)的长为______ ，点到的距离为______ ；（用含的代数式表示）
(2)当点在边上时，求的值；
(3)当四边形与重叠部分为四边形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【推荐1】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，以点M（1，4）为顶点的抛物线与直线y＝kx+b 交于A，B两点，且点A坐标为（4，﹣），点B在y轴上．

(1)求直线和抛物线解析式；
(2)若点D是抛物线上位于直线AB上方的一点（如图2），过点D作DE⊥x轴于点E，交直线AB于点F，求线段DF长度的最大值；
(3)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使以点A，M，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为抛物线的顶点，求四边形的面积；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．

(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．

【推荐2】在平面直角坐标系中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．

(1)已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由；
(2)已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．连接并延长，交该抛物线于点E．点F 是射线上一点，如果，求点F的坐标．

【推荐3】如图1，抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线的顶点为G．
（1）求出抛物线的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线，设与x轴的交点为、，顶点为，当△是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点（介于O与B之间），过点M作x轴的垂线分别交抛物线、于P、Q两点，是否存在M点，使得以A、Q、M为顶点的三角形与以P、M、B为顶点的三角形相似，若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．