【推荐1】如图：在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣2，﹣4 ），O（0，0），B（2，0）三点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标D.
(2)若使x轴上一点P，使P 到A、D的距离之和最小，求P的坐标．
(3)若抛物线对称轴上一点M，使AM + OM最小，求AM + OM的最小值．

【推荐2】如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结

(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
(2)若四边形的面积为求直线的函数关系式；
(3)抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点，与y轴交于点，连接AC，BC．点E是线段OB上动点（不与O、B两点重合），过点E作x轴的垂线l，设直线l与BC交于点D，与抛物线交于点P．

(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AP，当和相似时，求点P的坐标；
(3)过点Р作，垂足为F，求面积的最大值

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣2，0），并且抛物线过点D（4，3）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线CB上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”例如，，都是“硬核点”．
(1)下列说法正确的是_______（填序号）．
①正比例函数的图象上有无数个“硬核点”；
②一次函数的图象上没有“硬核点”；
③反比例函数的图象上有两个“硬核点”；
④二次函数的图象上只有一个“硬核点”．
(2)已知抛物线（，均为常数）上有且只有一个“硬核点”．
①当时，求的取值范围；
②当时，过反比例函数图象上的“硬核点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围．

【推荐3】已知二次函数y＝x²＋bx－3的图像经过点P(－2，5)．
（1）求b的值，并写出当0＜x≤3时y的取值范围；
（2）设点P₁(m，y₁)、P₂(m＋1，y₂)、P3(m＋2，y₃)在这个二次函数的图像上．
①试比较y₁和y₂的大小；
②当m取不小于5的任意实数时，请你探索：y₁、y₂、y₃能否作为一个三角形
三边的长，并说明理由．

【推荐1】如图，已知在平面坐标系中，点的坐标为，点坐标为，点坐标为，根据条件，解答下列问题：

(1)如图1，求经过三点的抛物线的解析式；
(2)如图2，设该抛物线的顶点为点，求四边形的面积；
(3)如图3，设点是该抛物线对称轴上的一个动点，连接，当周长最小时，求点的坐标，并求出此时周长的最小值．

【推荐2】平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为．

(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值；
(3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)如果抛物线经过点．
①求的值；
②直接写出“区域”内整数点的个数；
(2)当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；
(3)当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．

【推荐3】平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；