在已有运算的基础上定义一种新运算:,的运算级别高于加减乘除运算,即的运算顺序要优先于、、、运算,试根据条件回答下列问题.
(1)若,则的值为:______;
(2)在数轴上,数、的位置如下图所示,试化简;;
(3)如图所示,在数轴上,点、分别以1个单位每秒的速度从表示数和3的点开始运动,点向正方向运动,点向负方向运动,秒后点、分别运动到表示数和的点所在的位置,当时,求的值.
(1)若,则的值为:______;
(2)在数轴上,数、的位置如下图所示,试化简;;
(3)如图所示,在数轴上,点、分别以1个单位每秒的速度从表示数和3的点开始运动,点向正方向运动,点向负方向运动,秒后点、分别运动到表示数和的点所在的位置,当时,求的值.
更新时间:2020-12-08 22:20:41
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【推荐1】探究与发现:或表示,两数之差的绝对值,实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离,如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离.
(1)如图,已知数轴上点表示的数为,点是数轴上位于点左侧一点,且,则数轴上点表示的数为________;
(2)若,则________;
拓展与延伸:
(3)在(1)的基础上,解决下列问题:
①动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为()秒.求当为多少秒时,,两点之间的距离为;
②数轴上还有一点所对应的数为,动点和同时从点和点出发,分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向点运动,点到达点后,再立即以同样的速度返回,点到达点后,运动停止.设运动时间为()秒,问当为多少秒时,,之间的距离为(直接写出的值).
(1)如图,已知数轴上点表示的数为,点是数轴上位于点左侧一点,且,则数轴上点表示的数为________;
(2)若,则________;
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①动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为()秒.求当为多少秒时,,两点之间的距离为;
②数轴上还有一点所对应的数为,动点和同时从点和点出发,分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向点运动,点到达点后,再立即以同样的速度返回,点到达点后,运动停止.设运动时间为()秒,问当为多少秒时,,之间的距离为(直接写出的值).
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【推荐2】如图1,正方形和长方形的周长相等,且各有一条边在数轴上,点对应的数分别是.正方形以每秒2个单位长度的速度向右移动,同时长方形以每秒1个单位长度的速度向左移动.设正方形和长方形重叠部分的面积为S,移动时间为t.
(1)长方形的面积是______.
(2)当S是长方形面积的一半时,求t的值.
(3)如图2,当正方形和长方形运动到点B和点F重合时,停止运动,将正方形绕点B顺时针旋转,旋转角度为,点分别在线段、线段的延长线上,平分,判断和之间的数量关系,用等式表示,并说明理由.
(1)长方形的面积是______.
(2)当S是长方形面积的一半时,求t的值.
(3)如图2,当正方形和长方形运动到点B和点F重合时,停止运动,将正方形绕点B顺时针旋转,旋转角度为,点分别在线段、线段的延长线上,平分,判断和之间的数量关系,用等式表示,并说明理由.
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【推荐1】如图,数轴有A、B两点,对应的数分别是-6、8,动点P、Q分别从A、O两点同时出发向右运动,点P运动速度为每秒2个单位长度,点Q运动速度为每秒1个单位长度,当P、Q到达B点后,立即按原速返回,当点P到达A点时,P、Q同时停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空:当t=4秒时,点P所表示的数为 ;当t=9秒时,点Q所表示的数为 ;
(2)点P返回过程中,当t为何值时OP=7?并说明理由;
(3)P在运动过程中,t为何值时,PO=OQ.
(1)填空:当t=4秒时,点P所表示的数为 ;当t=9秒时,点Q所表示的数为 ;
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【推荐2】点A,B,C为数轴上的三点,如果点C在点A,B之间,且到点A的距离是点C到点B的距离的3倍,那么我们就称点C是{A,B}的奇妙点.例如,如图①,点A表示的数为-3,点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3,到点B的距离是1,那么点C是{A,B}的奇妙点;又如,表示-2的点D到点A的距离是1,到点B的距离是3,那么点D就不是{A,B}的奇点,但点D是{B,A}的奇妙点.
【知识运用】
如图②,M,N为数轴上的两点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为6.
(1)表示数_____的点是{M,N}的奇妙点;表示数______的点是{N,M}的奇妙点;
(2)若点P所表示的数为3,点P是{M,N}的奇妙点,则点M、N所表示的数可以是几?M=______,N=_____(写出一组即可)
(3)如图③,A,B为数轴上的两点,点A所表示的数为-10,点B所表示的数为50.现有一动点P从点A出发向右运动,点P运动到数轴上的什么位置时,P,A,B中恰有一个点为其余两点的奇妙点?
【知识运用】
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【推荐3】已知代数式是关于x的二次多项式,且二次项的系数为b.如图,在数轴上有点A,B,C三个点,且点A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c.已知.
(1)求a,b,c的值;
(2)若动点P,Q分别从C,O两点同时出发,向右运动,且点Q不超过点A.在运动过程中,点E为线段的中点,点为线段的中点,若动点P的速度为每秒2个单位长度,动点Q的速度为每秒3个单位长度,求的值.
(3)若动点P,Q分别自A,B出发的同时出发,都以每秒2个单位长度向左运动,动点M自点C出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t(秒),时,数轴上的有一点N与点M的距离始终为2,且点N在点M的左侧,点T为线段上一点(点T不与点M,N重合),在运动的过程中,若满足(点T不与点P重合),求出此时线段的长度.
(1)求a,b,c的值;
(2)若动点P,Q分别从C,O两点同时出发,向右运动,且点Q不超过点A.在运动过程中,点E为线段的中点,点为线段的中点,若动点P的速度为每秒2个单位长度,动点Q的速度为每秒3个单位长度,求的值.
(3)若动点P,Q分别自A,B出发的同时出发,都以每秒2个单位长度向左运动,动点M自点C出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动时间为t(秒),时,数轴上的有一点N与点M的距离始终为2,且点N在点M的左侧,点T为线段上一点(点T不与点M,N重合),在运动的过程中,若满足(点T不与点P重合),求出此时线段的长度.
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【推荐1】【背景知识】
【综合运用】
(1)点的运动速度为______单位长度/秒,点的运动速度为______单位长度/秒;
(2)当时,求运动时间;
(3)若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动,但运动的方向不限,我们发现:随着动点、的运动,线段的中点也随着运动.问点能否与原点重合?若能,求出从、相遇起经过的运动时间,并直接写出点的运动方向和运动速度;若不能,请说明理由.
数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴我们发现有许多重要的规律:
例如,若数轴上点、点表示的数分别为、,则、两点之间的距离,线段的中点表示的数为.
【问题情境】在数轴上,点表示的数为-20,点表示的数为10,动点从点出发沿数轴正方向运动,同时,动点也从点出发沿数轴负方向运动,已知运动到4秒钟时,、两点相遇,且动点、运动的速度之比是(速度单位:单位长度/秒).
【综合运用】
(1)点的运动速度为______单位长度/秒,点的运动速度为______单位长度/秒;
(2)当时,求运动时间;
(3)若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动,但运动的方向不限,我们发现:随着动点、的运动,线段的中点也随着运动.问点能否与原点重合?若能,求出从、相遇起经过的运动时间,并直接写出点的运动方向和运动速度;若不能,请说明理由.
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【推荐2】钟面上的数学
【基础知识】
钟表上,时针每小时转动的角度是.
(1)时针每分钟转动的角度是,等于多少分?等于多少秒?
【问题初探】
(2)在某一天的5点到6点之间(包括5点整和6点整),假设这一时刻是5点分.
①求时针和分针重合时的值;
②求用含有的代数式表示时针与分针的夹角.
【类比分析】
(3)小明17点多钟开始做作业,他家墙上时钟的时针和分针的夹角是,他做完作业后还是当天17点多钟,且时针和分针的夹角还是,求小明做作业用了多少分钟.
【学以致用】
(4)在某一天5点15分到5点16分之间,当秒针是时针和分针的角平分线时,请求出此时的时间.
【基础知识】
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【推荐3】为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,某市正在修建贯穿城市东西、南北的地铁1号线、地铁2号线一期工程.已知修建地铁1号线23千米和2号线一期18千米共需投资310.6亿元;若2号线一期每千米的平均造价比1号线每千米的平均造价多0.4亿元.(1)求1号线和2号线一期每千米的平均造价分别是多少亿元?(2)除1号线和2号线一期外,市政府规划到2020年后还将新建2号线2期,3号线和4号线共6千米据预算,后期新建设的这6千米的地铁网每千米的平均造价将比1号线每千米的平均造价多20%,则还需投资多少亿元?
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