【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把
（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣
）④＝ ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是： ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ ，（
）⑥＝ ．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝ ．
（5）算一算：
＝ ．
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把
（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣
）④＝ ；（2）下列关于除方说法中，错误的是： ．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝ ，（
）⑥＝ ．（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝ ．
（5）算一算：
＝ ．
20-21七年级上·河南南阳·期中 查看更多[5]
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更新时间：2021-03-10 08:34:54
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【推荐2】曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算
(其中
是正整数，且
，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算
．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是
．
根据第n次分割图可得等式：
．
探究二：计算
．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为
；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是
．
根据第n次分制图可得等式：
，
两边同除2，得
，
探究三：计算
．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，
___________．
(3)拓广应用：计算
___________．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算
(其中是正整数，且，)．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算
．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为
；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为
；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：
．探究二：计算
．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为
；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为
；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是．根据第n次分制图可得等式：
，两边同除2，得
，探究三：计算
．(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算
．(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，
___________．(3)拓广应用：计算
___________．
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名校
【推荐1】读一读：式子“
”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“”表示为
，这里“
”是求和符号．例如：“
”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为
；又如“
”可表示为
．同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）
（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
（2）计算：
（填写最后的计算结果）．
（3）计算
．
”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“”表示为，这里“”是求和符号．例如：“”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为；又如“”可表示为．同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）
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（填写最后的计算结果）．（3）计算
．
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(0.4)
【推荐2】关于三角函数有如下的公式：
①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
③tan（α+β）＝
．
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°+60°）＝
＝
＝
＝
＝
．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
（1）求cos75°的值；
（2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
③tan（α+β）＝
．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°+60°）＝
＝＝＝＝．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
（1）求cos75°的值；
（2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐3】对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：
两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数
、、，有
，所以为和的一个中间分数，在表中还可以找到和的中间分数
，
，
，
．把这个表一直写下去，可以找到和更多的中间分数．
(1)按上表的排列规律，完成下面的填空：
①上表中括号内应填的数为 ；
②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的和的中间分数是 ；
(2)写出分数
和
（a、b、c、d均为正整数，
，
）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；
(3)若
与
（m、n、s、 t均为正整数）都是
和
的中间分数，则
的最小值为 ．
两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数
、、，有，所以为和的一个中间分数，在表中还可以找到和的中间分数，，，．把这个表一直写下去，可以找到和更多的中间分数．(1)按上表的排列规律，完成下面的填空：
①上表中括号内应填的数为 ；
②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的
和的中间分数是 ；(2)写出分数
和（a、b、c、d均为正整数，，）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；(3)若
与（m、n、s、 t均为正整数）都是和的中间分数，则的最小值为 ．
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解答题-计算题
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较难
(0.4)
【推荐1】【学习方法】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
例如：
图1，将n行n列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数：
算法Ⅰ：
类比正方形面积的计算，图形可以看作n行棋子，每行都有n枚，因此棋子的总数是：
n×n＝n2
算法Ⅱ：
沿虚线将图案分割，可以发现：
第一层虚线内有1枚棋子，
第二层虚线内有3枚棋子，
第三层虚线内有5枚棋子…
第n层虚线内有（2n﹣1）枚棋子，
则棋子总数为1+3+5+7+…+2n﹣1
由此可得：1+3+5+7+…+2n﹣1＝n2
【类比尝试】
如图2，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论．
算法Ⅰ：
算法Ⅱ：
你发现的结论是 ．
经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理 ．
【拓展探究】
富比尼原理给我们重要的启发：
从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现．
问题：
n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以这（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．可以用含m、n的代数式表示y吗？
问题探究：
为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手：
（一）研究最简单的多边形﹣﹣三角形．
三角形有3个顶点，在它的内部再画m个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？
方法Ⅰ：关注要素﹣﹣三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的关系．
从n＝3，m＝1开始研究：
当n＝3，m＝1时，最多可以把原三角形剪成3个三角形；
当n＝3，m＝2时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形；
当n＝3，m＝3时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形；
…
进行从特殊到一般的归纳：
对于一般的情形，在三角形内画m个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形内部每增加一个点，可增加 个三角形．
故n＝3时，用含有m的代数式表示y＝ ；
方法Ⅱ：关注要素﹣﹣顶点数对组成三角形的作用．
三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3个互不重叠的小三角形．
三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5个互不重叠的小三角形．
三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7个互不重叠的小三角形．
…
进行从特殊到一般的归纳：
三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成
个互不重叠的小三角形．
以三角形的三个顶点和它内部的m个点，可把三角形最多剪成 个互不重叠的小三角形．
（二）在四边形中研究类似的问题．
四边形有4个顶点，在它的内部再画m个点，把四边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？
方法Ⅰ：
对于一般的情形，在四边形内画m个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形内部每增加一个点，可增加 个三角形．
故n＝4时，用含有m的代数式来表示y：y＝ ．
方法Ⅱ：
四边形的四个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成 个互不重叠的小三角形．
问题解决：
对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验证，可得y＝ （用含m、n的代数式表示）．
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
例如：
图1，将n行n列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数：
算法Ⅰ：
类比正方形面积的计算，图形可以看作n行棋子，每行都有n枚，因此棋子的总数是：
n×n＝n2
算法Ⅱ：
沿虚线将图案分割，可以发现：
第一层虚线内有1枚棋子，
第二层虚线内有3枚棋子，
第三层虚线内有5枚棋子…
第n层虚线内有（2n﹣1）枚棋子，
则棋子总数为1+3+5+7+…+2n﹣1
由此可得：1+3+5+7+…+2n﹣1＝n2
【类比尝试】
如图2，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论．
算法Ⅰ：
算法Ⅱ：
你发现的结论是 ．
经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理 ．
【拓展探究】
富比尼原理给我们重要的启发：
从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现．
问题：
n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以这（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．可以用含m、n的代数式表示y吗？
问题探究：
为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手：
（一）研究最简单的多边形﹣﹣三角形．
三角形有3个顶点，在它的内部再画m个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？
方法Ⅰ：关注要素﹣﹣三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的关系．
从n＝3，m＝1开始研究：
当n＝3，m＝1时，最多可以把原三角形剪成3个三角形；
当n＝3，m＝2时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形；
当n＝3，m＝3时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形；
…
进行从特殊到一般的归纳：
对于一般的情形，在三角形内画m个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形内部每增加一个点，可增加 个三角形．
故n＝3时，用含有m的代数式表示y＝ ；
方法Ⅱ：关注要素﹣﹣顶点数对组成三角形的作用．
三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3个互不重叠的小三角形．
三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5个互不重叠的小三角形．
三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7个互不重叠的小三角形．
…
进行从特殊到一般的归纳：
三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成
个互不重叠的小三角形．
以三角形的三个顶点和它内部的m个点，可把三角形最多剪成 个互不重叠的小三角形．
（二）在四边形中研究类似的问题．
四边形有4个顶点，在它的内部再画m个点，把四边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？
方法Ⅰ：
对于一般的情形，在四边形内画m个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形内部每增加一个点，可增加 个三角形．
故n＝4时，用含有m的代数式来表示y：y＝ ．
方法Ⅱ：
四边形的四个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成 个互不重叠的小三角形．
问题解决：
对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验证，可得y＝ （用含m、n的代数式表示）．
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(0.4)
【推荐2】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，
，
是
的中线，
，垂足为
．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设
，
，
．
特例探索：
（1）①如图1，当
，
时，
_________，
________；
②如图2，当
，
时，求
和
的值．
归纳证明：
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形
中，
为对角线
，
的交点，
分别为线段
，
的中点，连接，
并延长交于点
，
，
分别交
于点
，
，如图4所示，求
的值．
，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．特例探索：
（1）①如图1，当
，时，_________，________；②如图2，当
，时，求和的值．归纳证明：
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形
中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值．
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；
；
；
；
，
，
，
，…，按此规律，这列数中的第100个数是_______________．
