【推荐1】小李同学在认真阅读了书本第54页活动2的内容后，按书本的描述，进行了如下探索：
第一步：先在平面直角坐标系中找点，再在x轴上任意找点；
第二步：过点M作x轴的垂线交线段的垂直平分线于点P，连接，设点P的坐标是；
   
(1)如图1，小李同学先用含y的代数式表示了=           ；过点A作于点G，在中，用含x和y的式子可求得=                  ；由垂直平分线性质可知：，即=，由此可推出点P的纵坐标y与横坐标x满足的函数关系式为：                   ；
(2)当（1）中所求得的函数自变量x满足时，函数y有最小值为2，求m的值；
(3)如图2，直线与（1）中所得抛物线交于点B、C，点D为线段的中点，点，点F为抛物线上的一动点，当最小时，是否存在点F使，若存在，请直接写出满足条件的所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，二次函数的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．

(1)求直线的函数解析式；
(2)如图2，点D在直线下方的抛物线上运动，过点D作轴交于点M，作于点N，当的周长最大时，求点D的坐标及周长的最大值；
(3)以为边作交y轴于点E，借助图1探究，并直接写出点E的坐标．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，作直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）．

(1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示）
(2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式．
(3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值．
②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式．

【推荐2】如图1，在正方形中，点E是边上一点，将沿着折叠，点C落在点F处，连接交于点O，延长交于点G．

(1)求证：；
(2)如图2，若点E为的中点，连接、．
① 判断的形状，并说明理由；
② 求的值；
(3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，点E为的中点，同样将沿着折叠，的延长线恰好经过点A．
① 求证：四边形是平行四边形；
② 若，求k的值．

【推荐3】如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

(1)则点A的坐标为_________，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________；
(2)设点，（其中）都在抛物线上，若，请证明：；
(3)已知点M是线段上的动点，点N是线段上方抛物线上的动点，若，且与相似，试求此时点N的坐标．

【推荐1】在等腰中，，是直角三角形，，，连接，点是的中点，连接．

（1）当，点在边上时，如图①所示，求证：．
（2）当，把绕点逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段和又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【推荐3】已知：为的直径，为上一点，于，为弧的中点，连接，分别交、于、．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，连接，求证：平分；
(3)如图3，在（1）的条件下，，，求的弦的长．