已知，在计算：
的过程中，如果存在正整数
，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为
没有进位，
没有进位；15和91都不是“本位数”，因为
，个位产生进位，
，十位产生进位．则根据上面给出的材料：
（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．
106（ ）；111（ ）；400（ ）；2015（ ）．
（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是 ，最小的“本位数”是 ．
（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？
的过程中，如果存在正整数，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为没有进位，没有进位；15和91都不是“本位数”，因为，个位产生进位，，十位产生进位．则根据上面给出的材料：（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．
106（ ）；111（ ）；400（ ）；2015（ ）．
（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是 ，最小的“本位数”是 ．
（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？
更新时间：2021-05-07 15:33:55
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【推荐1】根据同底数幂的乘法法则，我们发现：
（其中
，
，
为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：
，请根据这种新运算解决以下问题：
(1)若
，则
______；
______；
(2)若
，求
，
的值；
(3)若
，求的值．
（其中，，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题：(1)若
，则______；______；(2)若
，求，的值；(3)若
，求的值．
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【推荐2】把一个各个数位均不为0的正整数重新排列各数位上的数字，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为
．例如，357的差数
，2133的差数
（1）
＝__________﹐
＝_________．
（2）已知一个三位数
（其中
）的差数
，且这个三位数各数位上的数字之和为7的倍数，求这个三位数：
（3）若一个两位数
，一个三位数
，（其中
，
，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数
，当m的个位数字的3倍与
的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中
的最大值．
．例如，357的差数，2133的差数（1）
＝__________﹐＝_________．（2）已知一个三位数
（其中）的差数，且这个三位数各数位上的数字之和为7的倍数，求这个三位数：（3）若一个两位数
，一个三位数，（其中，，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数，当m的个位数字的3倍与的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中的最大值．
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【推荐3】阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如5353、3535 都是成对数
材料二：将一位四位正整数m的百位和十位交换位置后得到四位数n，F（m）=
，
（1）F(1234)= ：F(3232)=
（2）试证明任意成对数能被101整除；
（3）若t为一个成对数，另一个成对数s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）为一个完全平方数，请求出所有满足条件的F（t）的值．
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如5353、3535 都是成对数
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，（1）F(1234)= ：F(3232)=
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【推荐1】在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．
（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明；
（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可）
（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
三角形 | 角的已知量 |
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图2 | ∠A=2∠B=90° |
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图3 | ∠A=2∠B=60° |
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【推荐2】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为 ；
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=
BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为 ．
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=
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