【推荐1】如图1，垂直于轴的直线与抛物线相交于，两点，我们把线段称为抛物线的“碗宽”．例如，当，，时，直线与抛物线相交于，两点，则就是抛物线的“碗宽”．

(1)抛物线的“碗宽”长为_______；抛物线的“碗宽”长为______；抛物线的“碗宽”长为________；抛物线的“碗宽”长为_______．（后两空均用含的式子表示）
(2)抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，两条抛物线与直线的交点按从左往右的顺序依次是点，，，，若点在点的左侧且不是抛物线的“碗宽”．
①如图2，当，两点重合时，求，两点之间的距离．
②如图3，当，两点不重合时，求与之间的数量关系．

【推荐2】[基础巩固]
（1）如图所示，在正方形中，，分别为，上的点，交点为．求证：．
[尝试应用]
（2）如图2所示，在（1）的条件下，连结．若为的中点，．求的值．
[拓展提高]
（3）在正方形中，为上一点，连接，，为上的点（不与，重合），在左侧，连接，作中点，连接，，．若为等腰直角三角形，，，，请直接写出的长．

【推荐2】抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，线段的中点为点．将绕着点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点为．

（1）求、、三点的坐标；
（2）当旋转至时，求此时、两点间的距离；
（3）点是线段上的动点，旋转后的对应点为，当恰巧落在边上时，连接，，试求最小时点的坐标；
（4）连接，，则在旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．
（1）求∠AQC的度数．
（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为：       ，并说明理由．
（3）若，求∠AQB的度数．