【推荐2】如图，已知抛物线y₁＝ax²+（a﹣1）x+3（a≠0）与x轴交于A、B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)直接写出点C的坐标；
(2)将抛物线y₁＝ax²+（a﹣1）x+3（a≠0）平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′（3，0），求平移后的解析式．

【推荐3】如图，抛物线：交轴正半轴于点，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，与交于点，直线交于点．

（1）①抛物线的解析式为_______；
②求点，的坐标．
（2）是抛物线间的点，作轴交抛物线于点，连接，．设点的横坐标为，当为何值时，使的面积最大？并求出最大值．

【推荐1】如图（1），二次函数y＝ax²﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A(4，0)、B(5，5)．
   
（1）a＝　 　，b＝　 　，∠AOB＝　 　°；
（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标　 　；
（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．
①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；
②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．

【推荐2】如图，抛物线的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1，），与轴交于A、B两点.

（1）求抛物线的解析式.
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值.
（3）点F（0，）是轴上一动点，当为何值时，的值最小.并求出这个最小值.
（4）点C关于轴的对称点为H，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若是抛物线上一点，且点坐标为，点为抛物线对称轴上一点，求的最小值；
（3）点为直线上的动点，点为抛物线上的动点，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，，且平行于轴，与抛物线交于、两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．

(1)当时，求点D的坐标；
(2)连接、、，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．

【推荐2】如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动、规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．

(1)边的长度为__________；
(2)从运动开始，当t取何值时，？
(3)是否存在t，使得是直角三角形？若存在，直接写出t值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC，点C为直角顶点，连接OC．
（1）求S_△AOB；
（2）过点C作CE⊥x轴于E点，试探究OB+OA与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）若M为AB的中点，N为OC的中点，求MN的长．

【推荐1】如图，二次函数的图象经过，，，连接线段和线段C．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若动点E从A点出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时，动点F从点B出发以每秒个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点停止运动，设动点运动时间为秒，求当为何值时，为直角三角形；
(3)抛物线上是否存在点P（点P不能和点C重合），使得P点分别到直线和直线的距离相等，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线y＝ax²+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，对于P(m，n)，若点Q的坐标为(m，|m-n|)，则称点Q为点P的关联点．
(1)请直接写出点(2，2)的关联点；
(2)如果点P在一次函数y=x-1的图像上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
(3)已知点P在一次函数y=x(x>0)和一次函数y=x(x>0)所围成的区域内，且点P的“关联点”Q在二次函数的图像上，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．