【推荐1】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．

(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
(3)请探究线段AB、BE、CE之间的数量关系并直接写出结果______．

【推荐2】如图，Rt，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B向终点B运动．当点P与点A不重合时，过点P作于点D，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接DE．设运动时间为x秒，和重叠部分的图形面积为y．

(1)当点E在BC上时，x＝______；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当直线CE将的面积分成1∶2两部分时，直接写出x的值．

【推荐3】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D．过点D作轴，垂足为E．P为线段DE上一动点，为x轴上一点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)①当点P与点D重合时，求m的值；②在①的条件下，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到，点C，O，F的对应点分别是点，，，若的两个顶点恰好落在抛物线上，求点的坐标；
(3)当点P在线段DE上运动时，直接写出m的最大值和最小值．

【推荐1】在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在直线BC上．

(1)如图1，点D在BC上，点E是AC的中点，连接DE．若tan∠EDC=，DE=，求△ABC的周长．
(2)如图2，点D在CB的延长线上，连接AD，过点B作CD的垂线交AD于点E．点F在BC上，FG⊥AD于点G，连接CG．若AC=，DF=CG+AG，求证：DE=2AG．
(3)如图3，点D、E在BC边上，连接AD、AE，AD=AE，点F是AB的中点，连接EF，与AD交于点P．将△BEF沿着EF翻折，点B的对应点是点G，连接AG．若AE=EF，DP=，请直接写出△AGE的面积．

【推荐2】如图，四边形内接于，连接，，．
(1)如图1，求证：是的直径；

(2)如图2，点E在弧上，连接，过点E作的切线交的延长线于点F，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求线段的长．

【推荐3】下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．
【问题提出】
如图1，在中，，，点D在上，请用尺规作图：在外侧，以为边作．
【问题探究】
小明：如图2，分别以B、C为圆心，以、为半径画弧，两弧交于点E，连接、则即为所求作的三角形．
小亮：如图3，过点B作于点B，过点C作于点C，、相交于点E，则即为所求作的三角形．
（1）小明得出的依据是______ ，小亮得出的依据是______ ．（横线上填序号：①；② ；③；④ ）
【问题再探】
（2）在（1）中的条件下，连接兴趣小组的同学们用几何画板测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，A组同学会试延长线段至F点，使，连接，从而得以证明如图；B组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明如图，请你选取A组或B组中的一种方法完成证明过程．
【问题解决】
（3）如图6，已知，，点D在AB上，，，若在射线上存在点E，使，请求出相应的的长．