【推荐1】已知关于x的方程，当k为何值时，方程有解？

【推荐2】【发现问题】
我们知道，超市里的收费是扫码枪是通过扫描商品上的条形码来收款的，如图1．售货员通过输入条形码上的数字也可以获取商品的信息．
爱思考的小丽发现条形码上的数字存在某种运算关系．
【提出问题】
①超市商品条形码大多是13位数字组成，它们代表什么含义？
②这些数字之间存在怎样的运算关系？
【查阅资料】
通过查找资料，明晰：商品的条形码共有位数字，它是由位数字代码和1位校验码构成，其结构分别代表“国家码、厂商编码、产品码、校验码”．其中校验码是用来校验条形码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图2为例，其算法为：
                              
步骤1：计算前位数字中偶数位数字的和记为，即；
步骤2：计算前位数字中奇数位数字的和记为，即；
步骤3：计算除以10取余数记为，即，；
步骤4：计算与的差就是校验码X，即．
注：如果计算出的校验码等于，即改用0取代．
【解决问题】
(1)某天然矿泉水的条码为，按照“步骤1”的计算，则的值为________；校验码的值为________．
(2)如图3，某商品条形码中的一位数字被污染了，求这个数．
(3)如图4，某商品条形码中被污染的两个数字的和是，求这两个数．

【推荐3】我们定义一种新的运算“”：对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与，并且规定：.
例如： .
根据上述规定解决下列问题：
（1）计算：        ；
（2）若有理数对，则       ；
（3）若有理数对成立，则解得是整数，求整数的值

【推荐1】【基础巩固】
　　 　　
(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，，交于点G，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的值．
【拓展提高】
(3)如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．

【推荐2】老师布置了一个作业，如下：
已知：如图1的对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．

嘉琪同学写出了如图2所示的证明过程，老师说嘉琪同学的作业是错误的．请你解答下列问题：
（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；
（2）请你给出本题的正确证明过程．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；
（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N，若CM＝MG，求证：EG＝2MN．

【推荐1】如图,长方形ABCD各顶点分别为A(-2,2),B(-2,-1),C(3,-1),D(3,2),如果长方A'B'C'D'先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,恰能与长方形ABCD完全重合.
(1)求长方形A'B'C'D'各顶点的坐标;
(2)如果线段AB与线段B'C'交于点E,线段AD与线段C'D'交于点F,求点E,F的坐标.

【推荐2】已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）．

（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．
（2）在△ABC的边AB上有一点P（a，b），把△ABC平移后，点P的对应点P ′的坐标是（a+2，b-3），写出平移后△ABC各顶点的坐标．

【推荐3】如图1，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，M(a，b)，且a，b满足|a﹣4|+＝0．

(1)求点A的坐标；
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OC方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO方向运动，设运动时间为t，当三角形AOD的面积小于三角形AOE的面积时，求t的取值范围；
(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点N落在第二象限，连接BN交y轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标．