【推荐1】在我市万丰湖景区，有处湖道两岸所在直线如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自逆时针旋转至便立即回转，灯Q射线自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．

   

(1)若把灯P自转至，或者灯Q自转至称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；
(2)12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求的度数；
(3)在两灯同时开启，请问开启多长时间时，两灯的光束将第一次互相垂直？

【推荐2】【感知】如图①，，，，的度数为______．
【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，
（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．

【推荐3】如图①，是直线，内部一点，，连接，．

(1)探究猜想：
①若，，则等于多少度？
②若，，则等于多少度？
(2)如图②，射线与长方形的边交于点，与边交于点，①②③④分别是被射线隔开的4个区域（不含边界）其中区域③，④位于直线上方，是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系（不要求写出过程）．

【推荐1】点E为射线上一点，，连接，过点A的直线．

图1                                        图2

(1)如图1，当点E在线段上时，猜想并验证与的数量关系；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上时，猜想并验证与的数量关系．

【推荐2】如图，在中，，以为直径的半圆与交于点F，点E是边和半圆的公共点，且满足．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长度．

【推荐3】在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且．连接，与边所在的直线交于点F．
   
(1)当点D在线段上时，如图所示，G为线段上一点，，求证：．
(2)过点D作交直线于点H．若，求的长是多少？