【推荐1】

(1)如图①， 中，．点 是底边 上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且，连接，则        
(2)如图②，中，．点是腰AB 上一点，连接，以为底边作等腰直角三角形，连接，求 的值．
(3)如图③，正方形的边长为，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接．当正方形的面积为时，直接写出的长．

【推荐2】如图：已知、，且a、b满足．

(1)如图1，求 的面积；
(2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转 至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值．

【推荐3】在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．

(1)如图1，求证：等于；
(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．

【推荐1】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．

（1）求证：；
（2）探究、、的数量关系，并证明；
（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为，，，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（）．

(1)点D的坐标是        ；点E的坐标是        ；
(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当为直角时，求点P的坐标；
(3)在整个运动过程中，当是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．

【推荐3】我们知道：如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，类似地，我们定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的倍，那么这个三角形就叫美妙三角形．

（1）根据美三角形的定义，下列三角形一定是美妙三角形的是（       ）
A．直角三角形       B．等腰三角形       C．等腰直角三角形       D．等边三角形
（2）在中，，，，试判断是否为美妙直角三角形，并说明理由；
（3）如图，在四边形中，，．是四边形内一点，且，．求证：是美妙三角形．

【推荐2】已知：如图，，是上一点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，联结.求证：.

【推荐3】如图所示，矩形的边长，，点F在上，．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线、线段向点A的方向运动（点M可运动到的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接、，当F、N、M不在同一直线时，可得，过三边的中点作．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

(1)说明∽△；
(2)设（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，为直角三角形？当x在何范围时，不为直角三角形？
(3)问当x为何值时，线段最短？求此时的值．