【推荐1】设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的圆的圆心O在直线l上运动，A、O两点之间的距离为d．
（1）如图①，当r＜a时，填表：

（2）如图②，⊙O与正方形有5个公共点B、C、D、E、F，求此时r与a之间的数量关系；

（3）由（1）可知，d、a、r之间的数量关系和⊙O与正方形的公共点个数密切相关．当r=a时，请根据d、a、r之间的数量关系，判断⊙O与正方形的公共点个数；
（4）当r与a之间满足（2）中的数量关系时，⊙O与正方形的公共点个数为 ．

【推荐2】如图，平行四边中，O为上的一点，连接．，以O为圆心，为半径画圆，分别交，于点P，Q．若，，，，判断直线与的位置关系，并说明理由．
          

【推荐3】如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，BC=7cm，AB=cm。 点P从点B出发沿BC方向向点C运动，当点P到点C时，停止运动
（1）如图2，过点P作PQ⊥BC，PQ交AB于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，若点R恰好在边AC上，且满足QR=2PQ.求BP得值.
（2）以点P为圆心，BP为半径作圆.
①如图3，当⊙P与边AC相切于点E时，求BP的值;
②随着BP的变化，⊙P与△ABC三边的公共点的个数也在变化，请直接写出公共点个数与对应的BP的取值范围.

【推荐1】河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦地带，一次活动课，老师要求测量河的宽度．一同学的测量结果如图所示：，，米．请你帮助计算河的宽度．（结果保留根号）

【推荐2】某景区为给游客提供更好的游览体验，计划在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台.索道与的夹角为，与水平线的夹角为，，分别垂直于水平地面（点，，在同一水平直线上），且，请你帮忙求出山顶到水平地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，）

【推荐3】为积极响应绿色出行的环保号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．如图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离BE为．

(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据体验综合分析，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．（参考数据：，，