【推荐1】如图1，在菱形中，对角线与相交于点，，，在菱形的外部以为边作等边三角形．点是对角线上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．
       
（1）线段的长为__________；
（2）如图2，当点在线段上，且点，，三点在同一条直线上时，求证：；
（3）连接．若的周长为，请直接写出的面积．

【推荐2】（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．
（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：
探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．
探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．
              

【推荐3】在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AB的中点，以AC为斜边作直角△APC，连接PD．

（1）当点P在△ABC的内部时（如图1），求证PD+PC＝AP；
（2）当点P在△ABC的外部时（如图2），线段PD、PC、AP之间的数量关系是 　．
（3）在（2）的条件下，PD与AC的交点为E，连接CD（如图3），PC：EC＝7：5，PD＝（AP＜PC），求线段PB的长．

【推荐1】如图，红星村A和幸福村B在一条小河的同侧，它们到河岸的距离，分别为1和3，又知道的长为3，现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．

（1）请在上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．

【推荐2】如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．已知，，求的长．

【推荐3】已知，在正方形ABCD中，连接对角线BD，点E为射线CB上一点，连接AE．F是AE的中点，过点F作FM⊥AE于F，FM交直线BD于M，连接ME、MC．

(1)如图1，当点E在CB边上时．
①依题意补全图1；
②猜想∠MEC与∠MCE之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，当点E在CB边的延长线上时，补全图2，并直接写出AE与MC之间的数量关系．

【推荐1】如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且，若，求的度数．

【推荐2】定义：如图1，点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．

(1)已知点M、N是线段的勾股分割点，，，求的长：
(2)如图2，在中，，，点M，N在斜边上，，求证：点M，N是线段的勾股分割点；
(3)在（2）的问题中，，，求BM的长．

【推荐3】如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转（）至，的平分线与射线相交于点E，连接．

(1)求证：；
(2)猜想的度数，并说明理由；
(3)若，试求的长．

【推荐1】如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转60°得到，连接，．

(1)请找出图中与相等的线段，并证明其相等；
(2)当时，
①直接写出的度数为______；
②若为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．

【推荐2】如图，在菱形中，，为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接，，．

（1）求证：，，三点共线；
（2）若点为的中点，连接，求证：．

【推荐3】如图①，和重叠放置在一起，，且，．

(1)观察猜想：图①中线段与的数量关系是 　　，位置关系是 　　；
(2)探究证明：把绕点顺时针旋转到图②的位置，连接，，判断线段与的数量关系和位置关系如何，并说明理由；
(3)拓展延伸：若把绕点顺时针旋转，直线与直线相交于点，，则的最大值为 　　．