【推荐1】如图，在等边三角形中，的平分线与的平分线相交于，过点作交于点，交于点，，求的长．
   

【推荐2】如图，是等边三角形，曲线叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为厘米，求前段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？

【推荐3】如图，在等边三角形的边，的延长线上截取点D，点E，使．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．

【推荐1】我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--------三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线 上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点 足够长．
使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，             
求证：             

【推荐2】如图，为的直径，点C在上，与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接并延长，交的延长线于点E．求证：．

【推荐3】如图，在中，为的直径，为上一点，是的切线，过点作的垂线，交的延长线于点．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．

【推荐1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， △ABO的三个顶点坐标分别为A(-1，3)，B(-4，3)，O(0，0)．

(1)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A₁B₁O；
(2)在（1）的条件下，求点A旋转到点A₁所经过的路径长（结果保留π）．

【推荐2】如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC．

(1)求AB的长；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．

【推荐3】四边形的对角线交于点，有，，以为直径的半圆过点，圆心为．

(1)利用图1，求证：四边形是菱形．
(2)如图2，若的延长线与半圆相切于点，已知直径．
①连结，求的面积．
②求弧的长．