【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x²+bx+c的图象经过点A（2，0）和点C，抛物线与x轴交于点A和点E（点A在点E的左侧），连接AC，将△ABC沿AC折叠，得到点B的对应点为点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求点D坐标，并判定点D是否在该二次函数的图象上；
（3）①在线段AC上找一点F，使得△OBF的周长最小，直接写出此时点F的坐标．②在①的基础上，过点F的一条直线与抛物线对称轴右侧部分交于点N，交线段AD于点M，连接NA、ND，使△AMF与△AMN的面积比为4：1，请直接写出△AND的面积．
   

【推荐2】如图①，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A（2，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到，设点P的纵坐标为m．当在△OAB的内部时，求m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使，若存在，求出满足条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线经过的三个点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形？若存在，请在图中画出所有符合条件的P点，然后直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点，在轴上，，，．

（1）求过A，，三点的抛物线的表达式；
（2）为抛物线对称轴上一动点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；
（3）如图2，连接，若点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段OA上以每秒2个单位长度的速度由点向点A运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），过点作轴，交于点，在运动过程中，线段的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

   

【推荐3】如图，抛物线y=kx²﹣2kx﹣3k交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知OC=OB．

（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上求点P，使PA+PO的值最小；
（3）抛物线上是否存在点Q，使△QBC的面积等于6？若存在，请求出Q的坐标；若不存在请说明理由．

【推荐1】如图，抛物线 y=ax²+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．

【推荐2】二次函数图象的顶点在原点O，且过点（1，1），点F（0，）在y轴上，直线与y轴交于点H，
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当点P横坐标为时，过O点作OQ⊥OP交抛物线于点Q，在y轴上找点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标.
   

【推荐3】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E时线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出的面积最大面积及此时E点的坐标．