【推荐2】小明从学校出发，匀速骑行前往距离学校米的图书馆，小明出发的同时，同学小阳以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，两人距离学校的路程（单位：米）与小明从学校出发的时间（单位：分钟）的函数图象如图所示．

(1)点的坐标为_________；
(2)求直线的表达式；
(3)若小明在图书馆停留分钟后沿原路按原速返回，请补全小明距离学校的路程与的函数图象；
(4)在（）的基础上，小明能否在返校途中追上小阳？若能，请计算此时两人与学校之间的距离；若不能，请说明理由．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，直线BC：，直线BD与x轴交于点A，点B（2，3），点D（0，）．

（1）求直线BD的函数解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得△ABC与△ACP的面积相等，求出点P的坐标；
（3）如图2，E为线段AC上一点，连结BE，一动点F从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位运动到点E再沿线段EA以每秒个单位运动到A后停止，设点F在整个运动过程中所用时间为t，求t的最小值．

【推荐1】我们不妨约定：对于某一自变量为的函数，若当时，其函数值也为．则称点为此函数的“不动点”，如：二次函数有两个“不动点”，坐标分别为和．
(1)一次函数的“不动点”坐标为______．
(2)若抛物线上只有一个“不动点”．
①求抛物线的解析式和这个“不动点”的坐标；
②在平面直角坐标系中，将抛物线平移后，得到抛物线，抛物线与轴交于点，连接，，若抛物线的顶点落在内部（不含边界），求出的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为．

(1)求抛物线的顶点的坐标；
(2)若点的横坐标为，且，求的长；
(3)若，设，求关于的函数表达式．

【推荐1】已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．   
（1）若，函数图象与轴只有一个交点，求的值；
（2）若，，设点的横坐标为，求证：；
（3）若，，问是否存在实数，使得在时，随的增大而增大？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，二次函数的图象经过A，B，C三点．
(1) 观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
(2) 求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3) 当取何值时，有两个不相等的实数根．

【推荐1】问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______．
学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．
   

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，直线经过、两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为线段上一点，连接，过点作的垂线与过点作轴的垂线交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为上一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若抛物线经过点，，求点的坐标．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知点，点．以点O为中心，将逆时针旋转得．点A，B旋转后的对应点分别为点C，D，记旋转角为α．

(1)如图①，若，求点C的坐标；
(2)如图②，若的顶点D落在第二象限，且时，与分别相交于点P，Q，求的长；
(3)当点A，B，C共线时，求点C的坐标．（直接写出结果即可）