【推荐1】在中，，．点在线段上，以，为边作正方形，与，的交点分别为，．
   
(1)求证：；
(2)若点为的中点，求的长；
(3)当为等腰三角形时，求的长．

【推荐2】（1）如图1，△ABC中，，是的中线，且，求的取值范围；
（2）如图2， 和是两个全等的三角形，，且，将绕点C顺时针旋转，如图3，点A的对应点是E，点B的对应点为F，取的中点M，连接，求证：；
（3）在（2）的条件下，当时，则______（直接填结果）．
   

【推荐3】我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图：，，回答下列问题：
   
(1)证明：和是兄弟三角形
(2)取的中点，连接，试证明．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法）．
(3)求证：．

【推荐1】如图，等边中，点P是边上一点，作点C关于直线的对称点D，连接，作于点E．

（1）若，依题意补全图1，并直接写出的度数；
（2）如图2，若，
①求证：；
②用等式表示线段之间的数量关系并加以证明．

【推荐2】综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC＝5cm，BC＝2cm．
解决问题
（1）勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE＝DB，请你给予证明；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；
拓展延伸
（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：将△BCE沿CD方向平移acm，得到B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，且，，等边的顶点与原点重合，边落在轴的正半轴上，点恰好落在线段上，如图，将等边从图的位置沿轴正方向以的速度平移，边，分别与线段交于点、，在平移的同时，点从的顶点出发，以的速度沿折线运动，当点达到点时，点停止运动，也随之停止平移．设平移时间为（），的面积为（）．

(1)等边的边长是______；
(2)当点在线段上运动时，直接写出与的函数关系式______；
(3)点沿折线运动的过程中，是否在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，直接写出此时值；若不存在，请说明理由．