1 . 在正方形中，，分别在，上，且，交于．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，在上取一点，使，在上取一点，使．求证：；
(3)在（2）的条件下，如果，，求的长．

2 . 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．

观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______；
探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由．
解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长．

3 . 如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为______．

4 . 如图，在中，的平分线交边于点，交边的延长线于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若是的中点，分别连结，求证：；
(3)如图3，若，四边形为平行四边形，分别连结，试判断的形状并证明．

5 . 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上．

(1)如图1，连接．
①请你探究与之间的关系，并证明你的结论；
②求证：．
(2)如图2，若，点F是的中点，求的长．

6 . 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接．并延长交于点F，连接交于点G．

(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，，求的值．

7 . 如图，正方形的边长为，为与点不重合的动点，以为一边作正方形．连，，当的值最小时，正方形的边长为______．

   

8 . 【问题背景】已知：在中，，点D、E分别为直线BC上两动点，探究线段、、三条线段之间的数量关系：

（1）如图1，当时，点D、E分别为线段上两动点且，猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想__________；
【问题拓展】（2）如图2，当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
【问题迁移】（3）如图3，当时，点D、E在边上，，点F在边上，点F到的距离是且，，求的面积．

10 . 如图，在正方形中，，点E为对角线上的动点（不与A，C重合），以为边向外作正方形，点P是的中点，连接，则的取值范围为___________．