【推荐1】如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．

（1）求证：．
（2）作半径于点，若，，求的长．

【推荐2】如图，在中，是的直径，，弦与相交于点E．

(1)求证：．
(2)求证：．

【推荐3】如图（1），已知点是的平分线上的点，以点为圆心的圆与角两边分别交于和四点．
          
（1）求证：；
（2）若角的顶点在圆上，如图（2），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请说明理由；
（3）若角的顶点在圆内，如图（3），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请说明理由．

【推荐1】如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．

【推荐2】如图，在中，为直径，为弦．过延长线上一点，作于点，交于点，交于点，是的中点，连接，．

   

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求的长．（用两种做法解答）

【推荐3】如图，点A在⊙O上，用无刻度的直尺在⊙O上画出B、C两点，满足下列要求：
（1）在图①中，使得△ABC为直角三角形；
（2）在图②中，使得△ABC为等腰三角形．

【推荐1】如图，是的直径，是弦延长线上一点，切线平分于．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的直径．

【推荐3】【基础巩固】
（1）如图1，在中，D为上一点，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，，若，，求的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，，，求菱形ABCD的边长．

【推荐1】定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于P、Q两点．

(1)填空：抛物线的“反碟长”___________．
(2)抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点时，求抛物线的解析式以及抛物线的“反碟长”．
②当抛物线的顶点A和抛物线与直线的两个交点B，C构成一个等边三角形时（点B在点C左右），求点A的坐标．