在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形
和三角形
，其中
，
，
，
，且
）开展数学活动．
操作发现：
(1)如图1，将三角形沿
方向移动，得到三角形
，我们会发现
，推理的根据是：________；
(2)将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求
的度数；
(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形能点C旋转一周，当
时，请判断直线和直线b是否垂直，并说明理由．
和三角形，其中，，，，且）开展数学活动． 操作发现：
(1)如图1，将三角形
沿方向移动，得到三角形，我们会发现，推理的根据是：________；(2)将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边
所在的直线b，点A与点F重合，求的度数；(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形
，将三角形能点C旋转一周，当时，请判断直线和直线b是否垂直，并说明理由．
更新时间：2023-07-10 13:50:03
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较难
(0.4)
【推荐1】已知直线
，点E和点F分别在直线
和
上．
(1)如图1，射线
平分 
交于点G，若
，求
的度数；
(2)如图2，射线平分
，点M是射线
上一点（不包括端点F），点N为
的平分线上一点（不包括端点E），连接
，
，延长交射线于点H，猜想
与
的关系，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，若
绕点G以每秒转动
的速度逆时针旋转一周，同时
绕点F以每秒转动
的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线
平分 交于点G，若，求的度数；(2)如图2，射线
平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由；(3)在（1）的条件下，若
绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值．
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(0.4)
【推荐2】问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
(1)端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
(2)端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 度．
(1)端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
(2)端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 度．
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，
，沿
将纸条的右半部分做第一次折叠，得到图b和交点
；再沿
将纸条的右半部分做第二次折叠，得到图c和交点
；再沿
将纸条的右半部分做第三次折叠，得到图d和交点
．
，那么
________
_________
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知
和
都为等腰三角形，
，
，
，点
在线段上，点
在射线
上，连接
．
(1)如图1，当点与点
重合时，若
，且
，证明：
；
(2)如图2，当点在边的延长线上时，在
上取点
，使得
，连接
，若
，
与的交点为
．
①证明：
；
②猜想并写出、
与之间的数量关系，并说明理由；
和都为等腰三角形，，，，点在线段上，点在射线上，连接．(1)如图1，当点
与点重合时，若，且，证明：；(2)如图2，当点
在边的延长线上时，在上取点，使得，连接，若，与的交点为．①证明：
；②猜想并写出
、与之间的数量关系，并说明理由；
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知：如图，在四边形
中，
，
．；
(2)如图2，点
在线段上，连接
并延长交延长线于点，平分
，过点作
交延长线于点
，若
，求
的度数；
(3)在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接
、
，过点
作
交延长线于点
，若
，
，
，求
的度数？
中，，．
；(2)如图2，点
在线段上，连接并延长交延长线于点，平分，过点作交延长线于点，若，求的度数；(3)在（2）的条件下，如图3，点
在线段上，连接、，过点作交延长线于点，若，，，求的度数？
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．
、
，求证：
；
，
，过点B作
交
，
，
，且
的面积为36时，求线段
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图③，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
（1）将图①中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图③，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第 秒时，边CD恰好与边MN平行；在第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
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(0.4)
【推荐2】如图，一次函数
的图像经过
，交
轴于点，反比例函数
的图像经过点
．
(1)求反比例函数表达式；
(2)将直线向右平移
个单位长度，得到对应直线
，求直线与反比例函数图像的交点坐标；
(3)将线段向右平移
个单位长度，得到对应线段，连接、
在线段运动过程中，连接，若
是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．
的图像经过，交轴于点，反比例函数的图像经过点．(1)求反比例函数表达式；
(2)将直线
向右平移个单位长度，得到对应直线，求直线与反比例函数图像的交点坐标；(3)将线段
向右平移个单位长度，得到对应线段，连接、在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．
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中，直线
与双曲线
相交于A，B两点，点
在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．
是平行四边形时，如图，请证明
是勾股四边形．
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(0.4)
名校
【推荐1】已知，点为边中点，点
为线段中点．
(1)如图1，若
，
，
，求的长：
(2)如图2，过点作直线
，分别过点，，作直线的垂线段，
，
，求证：
；
(3)在（1）条件下，点
与点
分别是射线
与射线
上两动点，且
，点关于
的对称点为
，将
绕点顺时针旋转
得到
，连接
，当最大时，直接写出
的面积．
，点为边中点，点为线段中点．(1)如图1，若
，，，求的长：(2)如图2，过点
作直线，分别过点，，作直线的垂线段，，，求证：；(3)在（1）条件下，点
与点分别是射线与射线上两动点，且，点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最大时，直接写出的面积．
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(0.4)
名校
【推荐2】直线的解析式为
，点在
轴上，直线上一动点的横坐标是，将绕点旋转使落在轴上的点处，连接．
(1)当
时，点的坐标____________
(2)判断
的形状为____________
(3)当
时，在第二象限内被与
两条直线所夹部分的面积记为
，用含的式子来表示，并直接写出的取值范围．
的解析式为，点在轴上，直线上一动点的横坐标是，将绕点旋转使落在轴上的点处，连接．(1)当
时，点的坐标____________(2)判断
的形状为____________(3)当
时，在第二象限内被与两条直线所夹部分的面积记为，用含的式子来表示，并直接写出的取值范围．
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，
，垂足为
在直线
，得到线段
的数量关系；
的数量关系，并说明理由；
，
，请直接写出线段
