【推荐2】如图，已知：抛物线经过点、点，且交轴于另一点．
       
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图像上存在点，使的面积等于面积的一半，则点的坐标为__________．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中已知点，，其中，满只．
   
(1)求的长；
(2)点为轴正半轴上一点，且，求点的坐标；
(3)如图2，在（）条件下在的正轴上否存在一点，使，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系中，我们将抛物线通过平移后得到，且设平移后所得抛物线的顶点依次为，这些顶点均在格点上，我们将这些抛物线称为“缤纷抛物线”（k为整数）．

（1）的坐标为____________，直接写出平移后抛物线的解析式为____________（用k表示）；
（2）若平移后的抛物线与抛物线交于点A，对称轴与抛物线交于点B，若，求整数k的值．

【推荐2】在抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
(1)若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m+1]，则此抛物线的函数表达式为______（含参数m），当m满足______时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
(2)若抛物线y＝x²+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出该抛物线的“抛物线系数”；
(3)若一条抛物线的系数是[a，﹣4a，c]（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，顶点为D，已知S_△ABD：S_{四边形ABCD}＝1：4，且tan∠ACB＝．求该抛物线的函数关系式．

【推荐1】综合与探究
如图，抛物线y=a经过点A、B、C且点C坐标为(0，−2)．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
（3）点H在线段AC上，若OH最短时，在x轴上找一点N，使△CHN周长最小时，求点N的坐标
（4）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于、、、四点，点坐标为．抛物线与轴交于点，与直线交于点、，且、分别与圆相切于点和点．
   
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．
（3）抛物线对称轴交轴于点，连接并延长交于点，求点的坐标．

【推荐3】在平面直角坐标系中，，，…，是个互不相同的点，若这个点横坐标的不同取值有个，纵坐标的不同取值有个，，则称为这个点的“特征值”，记为．如图1，点，，．
   
(1)如图2，圆的圆心为，半径为5，与轴交于，两点．
①__________，__________．
②直线与圆交于两点，，若，求的取值范围；
(2)点，，…，到点的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若拋物线恰好经过，，…，中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出的所有可能取值．