【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，直线经过、两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为线段上一点，连接，过点作的垂线与过点作轴的垂线交于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为上一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若抛物线经过点，，求点的坐标．

【推荐3】如图1，抛物线经过点，，交y轴于点C﹔
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)点Р为该抛物线对称轴上一点，
①如图2，当取得最小值时，求出Р点坐标；
②如图3，当取得最小值时，请直接写出Р点坐标．

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知抛物线：和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点．
(1)求直线的解析式；
(2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形；
(3)在（2）的条件下，射线交轴于点，连接，四边形是否能构成平行四边形?如果能，请求的值；如果不能，说明理由；
(4)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围为_______．

【推荐2】若三个非零实数中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数三构成“雅境三元数”．
(1)实数可以构成“雅境三元数”吗？请说明理由；
(2)若M₁(，)，M₂(，)，M₃(，)三点均在函数（为常数且）的图象上且这三点的纵坐标，，构成“雅境三元数”，求实数的值；
(3)设非负实数是“雅境三元数”且满足，其中是关于的一元二次方程的两个根，若过点A的二次函数同时满足以下两个条件：①；②当时，函数的最小值等于．求二次函数解析式．

【推荐3】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售量为y件．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)若在销售过程中每一件商品有a（a > 1）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的边落在轴上，落在轴上，，已知直线．

（1）填空：（______，______）；当直线与正方形没有交点时，的取值范围是______；
（2）当时，已知抛物线顶点在直线上，设抛物线与直线的另一个交点为，过作轴交抛物线于另一点，若，求的值；
（3）在（2）的条件下，抛物线与边所在的直线交于点．
①当点向上运动的过程中，点也随之向上运动，求此时的取值范围，并写出点在最高位置时的坐标；
②若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．

【推荐3】综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接，，．

(1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点为轴左侧二次函数图象上一动点，作射线．
①若点是射线上一点，当时，求点的坐标；
②随着点的运动，试探究：射线上是否存在一点，使得，且的面积最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．