【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x²﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．

（1）求点C的坐标．
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．
（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，．

(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)当时，抛物线与直线只有一个交点，求的取值范围；
(4)把二次函数的图象左右平移得到抛物线：，直接写出当抛物线与线段只有一个交点时的取值范围．

【推荐1】抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0）．
①直接写出抛物线的解析式；
②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；
（2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x²+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．
①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；
②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线．
(1)当抛物线过点时，求抛物线的表达式；
(2)求这个二次函数的对称轴（用含的式子表示）；
(3)若抛物线上存在两点和，当，求的取值范围．

【推荐3】如图示，在平面直角坐标系中，二次函数（）交轴于，，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；
（2）点是第二象限内的点抛物线上一动点
①求面积最大值并写出此时点的坐标；
②若，求此时点坐标；
（3）连接，点是线段上的动点.连接，把线段绕着点顺时针旋转至，点是点的对应点.当动点从点运动到点，则动点所经过的路径长等于______（直接写出答案）

【推荐1】如图．在平面直角坐标系中．抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣2）．已知点E（m，0）是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P．交BC于点F．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）当线段EF，PF的长度比为1：2时，请求出m的值；
（3）是否存在这样的m，使得△BEP与△ABC相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线C²经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为E．
（1）求抛物线C₂的函数解析式；
（2）点P（m，n）（﹣3＜m＜0）是抛物线C₂上的动点，设四边形OAPE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形OAPE的面积的最大值；
（3）若y＝x²与平移后的抛物线对称轴交于D点，在抛物线C₂的对称轴上，是否存在一点M，使得以M，O，D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，当的值最大时，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使，且与相似，若存在，请直接写出点M的坐标．