【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交点和点，与轴相交于点，抛物线的顶点为点，连接、、、．
   
(1)求这条抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)求的值；
(3)如果点在轴上，，求点的坐标．

【推荐2】已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作x轴的垂线分别交BC、x轴于点D、E，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长；
②连接BP、CP，是否存在点P，使得四边形BPCO的面积最大？若存在，请求出四边形BPCO的最大面积；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

【推荐2】如图，顶点为（）的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，直线交二次函数图象对称轴于点，点、关于点对称，连接、．

（1）求该二次函数的关系式（用含的式子表示）．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
②求证：．

【推荐3】综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．点是抛物线上的一个动点．

   

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．
(2)如图1，当在直线上方时，连接交于点，当时，求点的坐标．
(3)如图2，连接，过点作交抛物线的对称轴于点．试探究：是否存在一点使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知二次函数的解析式为：（m是常数）．
(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)若点，在函数图象上，求证：；
(3)已知函数图象经过点，，，若对于任意的都满足，求m的取值范围．

【推荐2】定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(﹣1，﹣1)是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点(﹣，﹣3)是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
(1)函数y＝x²﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
(2)若抛物线y＝ax²+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．

【推荐3】已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线交于点B．
(1)若点P的横坐标为1，点B的坐标为．
①求抛物线的解析式；
②若当时，的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；
(2)若点P在第一象限，且，过点P作轴于D，将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形的形状，并说明理由．