【背景知识】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”.数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.
【问题情境】例如,有理数1和在数轴上对应的两点之间的距离是,而的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离;因为,所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离.
【综合运用】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:
(1)若,则 .
(2)当取最小值时,的取值范围是 ,其最小值是 .
(3)小明同学在解方程时.由方程右边的值为5可知,满足方程的对应点在1的右边或的左边.若的对应点在1的右边,利用数轴分析可以看出;同理,若的对应点在的左边,可得;故原方程的解是或.
参考小明的解答过程,回答以下问题:
①求方程的解;(须写出必要的求解过程)
②数轴上是否存在有理数,使得方程成立.若存在,请直接写出所有满足条件的有理数;若不存在,请说明理由.
【问题情境】例如,有理数1和在数轴上对应的两点之间的距离是,而的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离;因为,所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离.
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(1)若,则 .
(2)当取最小值时,的取值范围是 ,其最小值是 .
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参考小明的解答过程,回答以下问题:
①求方程的解;(须写出必要的求解过程)
②数轴上是否存在有理数,使得方程成立.若存在,请直接写出所有满足条件的有理数;若不存在,请说明理由.
更新时间:2023-10-22 15:12:33
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【推荐1】三个有理数a、b、c满足abc>0,求++的值.
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【推荐2】在学习了数轴后,小亮决定对数轴进行变化应用:
(1)应用一:已知图①,点A在数轴上表示为,数轴上任意一点B表示的数为x,则两点的距离可以表示为,应用这个知识,请写出:
①有最小值为____________,此时x满足条件__________;
②有最小值为__________,此时x满足条件____________;
③有最小值为___________,此时x满足条件____________.
(2)应用二:在图①中,将数轴沿着点A折叠,若数轴上点M在点N的左侧,M,N两点之间距离为,M,C两点之间距离为4,且M,N两点沿着A点折叠后重合,则点M表示的数是____________;点C表示的数是____________.
(3)应用三:如图②,将一根拉直的细线看作数轴,一个三边长分别为,,的三角形的顶点A与原点重合,边在数轴正半轴上,将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上,负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上.
①如果正半轴的线缠绕了n圈,负半轴的线缠绕了n圈,求绕在点C上的所有数之和;(用n表示)
②如果正半轴的线不变,将负半轴的线拉长一倍,即原线上的点的位置对应着拉长后的数,并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕,则绕在点B且绝对值不超过的所有数之和是__________.
(1)应用一:已知图①,点A在数轴上表示为,数轴上任意一点B表示的数为x,则两点的距离可以表示为,应用这个知识,请写出:
①有最小值为____________,此时x满足条件__________;
②有最小值为__________,此时x满足条件____________;
③有最小值为___________,此时x满足条件____________.
(2)应用二:在图①中,将数轴沿着点A折叠,若数轴上点M在点N的左侧,M,N两点之间距离为,M,C两点之间距离为4,且M,N两点沿着A点折叠后重合,则点M表示的数是____________;点C表示的数是____________.
(3)应用三:如图②,将一根拉直的细线看作数轴,一个三边长分别为,,的三角形的顶点A与原点重合,边在数轴正半轴上,将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上,负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上.
①如果正半轴的线缠绕了n圈,负半轴的线缠绕了n圈,求绕在点C上的所有数之和;(用n表示)
②如果正半轴的线不变,将负半轴的线拉长一倍,即原线上的点的位置对应着拉长后的数,并将三角形向正半轴平移一个单位后再开始绕,则绕在点B且绝对值不超过的所有数之和是__________.
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【推荐1】阅读理解:
某节数学课上,杜老师在复习数轴上的点与数之间的关系时,给出了以下定义:
若,,是数轴上的三个点,如果点到的距离等于点到的距离,那么我们就称点是点,的中点.例如,如图1,点表示的数为,点表示的数为3,表示数1的点到点的距离是2,到点的距离是2,那么点是点,的中点.
【知识运用】
(1)如图2,、为数轴上两点,点所表示的数为,点所表示的数为3.数 所表示的点是点,的中点.
(2)①如图3,若数所表示的点是点,的中点,其中点,所表示的数分别为,.那么 , (只要写出符合条件的一对值即可).
②若数所表示的点是点,的中点,其中点,所表示的数分别为,.那么 (用,的代数式表示)
(3)如图4,,为数轴上两点,点所表示的数为,点所表示的数为18.现有一只电子蜗牛从点出发,以1个单位每秒的速度向右运动;同时另一只电子蜗牛从点出发,以2个单位每秒的速度向左运动,若点,分别是和的中点,则在,的运动过程中,当 秒时,点,到原点的距离相等(请直接写出答案).
某节数学课上,杜老师在复习数轴上的点与数之间的关系时,给出了以下定义:
若,,是数轴上的三个点,如果点到的距离等于点到的距离,那么我们就称点是点,的中点.例如,如图1,点表示的数为,点表示的数为3,表示数1的点到点的距离是2,到点的距离是2,那么点是点,的中点.
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(1)如图2,、为数轴上两点,点所表示的数为,点所表示的数为3.数 所表示的点是点,的中点.
(2)①如图3,若数所表示的点是点,的中点,其中点,所表示的数分别为,.那么 , (只要写出符合条件的一对值即可).
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【推荐2】已知a是最大的负整数,b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数,c是单项式﹣2xy2的系数,且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数.
(1)求a、b、c的值,并在数轴上标出点A、B、C.
(2)若M点在此数轴上运动,请求出M点到AB两点距离之和的最小值;
(3)若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动,点P的速度是每秒个单位长度,点Q的速度是每秒2个单位长度,求运动几秒后,点Q能追上点P?
(4)在数轴上找一点N,使点M到A、B、C三点的距离之和等于10,请直接写出所有的N对应的数.(不必说明理由)
(1)求a、b、c的值,并在数轴上标出点A、B、C.
(2)若M点在此数轴上运动,请求出M点到AB两点距离之和的最小值;
(3)若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动,点P的速度是每秒个单位长度,点Q的速度是每秒2个单位长度,求运动几秒后,点Q能追上点P?
(4)在数轴上找一点N,使点M到A、B、C三点的距离之和等于10,请直接写出所有的N对应的数.(不必说明理由)
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