【推荐1】如图所示，的高，交于，是的外接圆，于，求证：.

【推荐2】如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．

   

(1)求的长．
(2)若，
①证明：四边形是菱形．
②若，求四边形的周长．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接AO并延长，交DC延长线于点E，连接AC，BE．

（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）当∠D＝50°，∠AOC＝100°时，判断四边形ABEC的形状，并说明理由．

【推荐1】如图，在中，D，E分别是的中点．，延长到点F，使得，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．

【推荐2】如图，，，，在以为直径的上，与的延长线交于点，过点作的切线交于点，．

(1)求证：；
(2)若，．求的值．

【推荐3】如图1，与都是等边三角形，边长分别为和，连接、，为高，连接，为的中点．
   
(1)求证：；
(2)将绕点旋转，当点在上时，如图，与交于点，连接，求线段的长；
(3)连接，在绕点旋转一周的过程中，求的取值范围．

【推荐1】如图①，在等腰直角三角板ABC中，斜边BC为2个单位长度，现把这块三角板在平面直角坐标系xOy中滑动，并使B、C两点始终分别位于y轴、x轴的正半轴上，直角顶点A与原点O位于BC两侧.
（1）取BC中点D，问OD+DA是否发生改变，若会，说明理由；若不会，求出OD+DA；
（2）你认为OA的长度是否会发生变化？若变化，那么OA最长是多少？OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形？并说明理由；
（3）填空：当OA最长时A的坐标（ ， ），直线OA的解析式          .