【推荐1】疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，900），其中0≤x≤30．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？
（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．

【推荐3】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现：分别延长QE、MF、NG、PH交FA、GB、HC、ED的延长线于点R、S、T、W可得△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，得到等边△RPQ，若，则AD的长为__________.

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C．

(1)求这个抛物线的表达式；
(2)如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点．
①求D点坐标；
②点P在x轴上，如果，求点P的坐标．

【推荐2】如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、．

(1)求证：；
(2)设，的面积为，求与的函数关系式；
(3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，过点作射线交轴的正半轴于点，点与点关于原点对称，点是第四象限抛物线上一动点，过点作的垂线交于点，求线段长度的最大值及此时点的坐标；
(3)如图，把点向上平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点，在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A₁B₁C₁O绕点O旋转．
（1）求两个正方形重叠部分的面积；
（2）若正方形A₁B₁C₁O旋转到B₁在DB的延长线时，求A与C₁的距离．

【推荐2】如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点的左侧），与轴交于点．

(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，点为第三象限内抛物线上一点，交于点，交轴于点，且，求点的坐标；
(3)在第三象限内的抛物线上是否存在两个不同的点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．