【推荐1】【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．

(1)一条线段的中点___________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2cm的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒．
(2)问为何值时，点是线段的“二倍点”．

【推荐2】A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．

(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；
(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；
(3)当时，求t的值．

【推荐3】（1）如图，已知线段、，线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）
   
①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长．
②若线段，，M、N分别为、的中点，则线段______（用含m，n的代数式表示）．
（2）若线段在线段的延长线上（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论（用含m，n的代数式表示）．

【推荐1】如图，已知是的直径，是的切线，切点为，平行于弦，．
（1）求证：是的切线；
（2）求的值；
（3）若，求的长．

【推荐2】已知点在线段上，且和都是等边三角形，连接，，分别交，于点，．
   
(1)求证：；
(2)求证：．

【推荐3】已知，等边△ABC和等腰△CDE中，CD=DE，∠CDE=120°，CB=CE．
（1）如图1，若点B和点E重合，直接写出AB与BD之间的关系；
（2）若将如图1的△CDE绕C旋转至图2位置，连BE ，G 为BE 中点，连AG、DG，试探究AG与DG之间的关系，并证明；
（3）如图3，∠BCE=30°，AB=6，连接BE、AD，G、H分别为BE、AD 中点，则以GH为边长的正方形的面积为__________________(直接写出答案）．
   

【推荐1】如图，矩形中，点在上，，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）

   

(1)在图1中，画出的平分线；
(2)在图2中，画出的平分线，交于点，并说明理由．

【推荐2】如图，四边形中，，平分，于点．

(1)若，求证：；
(2)试探究线段，，的数量关系，并说明理由．

【推荐3】阅读下列信息，并回答问题．

题目：如图，在中，，点在边上，且． 求证：． 下面是小明的证明过程． 证明：， 在和中， ．

小明的证明正确吗？若正确，写出判定“”的理由；若不正确，写出正确的证明．