【推荐1】如图，在中，，是的一个外角．
   
【实践操作】
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不要求写出作法．）
（1）作的平分线；
（2）作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点，连接，；
【探究计算】
（3）若，求的度数．

【推荐2】已知:在中,,线段的垂直平分线交于点,点在上，且,连接
如图1 ,求证:

如图2,当时.在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形．

【推荐3】如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的开心点．”那么：

（1）如图1，观察并思考，△ABC的开心点有         个
（2）如图2，CD为等边三角形ABC的高，开心点P在高CD上，且PD=，则∠APB的度数为          
（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，开心点P在AC边上，试探究PA的长．

【推荐1】如图①，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB，AC于E，F．
（1）试说明：EO＝BE；
（2）探究图①中线段EF与BE，CF间的关系，并说明理由；
（3）探究图②，△ABC中若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F，这时EF与BE，CF的关系又如何？请直接写出关系，不需要说明理由．

【推荐3】综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
动手操作
操作1：如图1，将矩形纸片沿着对角线折叠，顶点落在点处，交于点．
操作2：如图2，在操作1的基础上，过点作，交于点，连接交于点．

(1)在图1中，求证是等腰三角形；
(2)在图2中，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在图2中，若，，直接写出的长．