【推荐1】已知抛物线：交x轴于点，交y轴于点，顶点为．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)已知抛物线的对称轴为直线，点为抛物线对称轴右侧上一点，过点作的垂线，垂足为，连接，若，求出点的坐标．

【推荐2】已知抛物线的顶点坐标为，它与x轴的一个交点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)写出它的开口方向以及与y轴的交点坐标．

【推荐3】乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：

水平距离x/cm	0	10	50	90	130	170	230
竖直高度y/cm	28.75	33	45	49	45	33	0

(1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；
②求满足条件的抛物线解析式：
(2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．

【推荐1】如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b
与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
（1）.OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；
（2）.是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．

【推荐2】在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；
（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．