【推荐1】数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出，再取边的中点O，连结并延长到点D，使，连结，（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．

已知：如图，在四边形中， ． ________． 求证：四边形是________四边形．

(1)补全已知和求证（在方框中填空）．
(2)小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．

【推荐2】阅读课本材料，解答后面的问题．
折纸与证明
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（图27－1），怎样证明∠C＞
∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以，点C落在AB上的点C’处（图27－2）．于是，由∠AC’D＞∠B，可得∠C＞∠B．
在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
（1）如图3，当AD⊥BC时，求证：AB+BD=DC；

（2）如图4，当AD是∠BAC的角平分线时，写出AB、BD、AC的数量关系，并证明．

【推荐3】将两块斜边长相等的等腰直角三角尺按如图①摆放，斜边分别交，于M，N点．

(1)如果把图①中的绕点C逆时针旋转得到，连接，如图②．求证：；
(2)将绕点C旋转，当点M、N在上（不与A、B重合）时，线段之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由．

【推荐1】(1)如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA²+PB²=PC²，证明∠PQC=90°；
(2)如图②所示，P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

【推荐2】在平面直角坐标系中，对于点，点和直线，点关于的对称点为点，点是直线上一点．将线段绕点逆时针旋转得到，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“旋交点”．

(1)若点A的坐标为，在点，，中，是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是             ；
(2)若点的坐标是，点、都在直线上，点是点关于轴和点的“旋交点”，求点的坐标；
(3)点在以为对角线交点，边长为2的正方形（正方形的边与坐标轴平行）上，直线，若正方形上存在点是点关于直线和点的“旋交点”，直接写出的取值范围．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．