【推荐1】在平面直角坐标系中，，，且，满足，将线段平移至，其中，的对应点分别为，．
（1）______，______；
（2）若点的坐标为，如图1，连接，求三角形的面积；
（3）设点是射线（不与点重合）上一点，
①如图2，若点在线段上，，，求的度数并说明理由；
②如图3，点在射线上，试探究与和的关系并直接写结论．

【推荐2】根据图形及题意填空，并在括号里写上理由.
已知：如图，，平分.
试说明：.
解：因为平分（已知）
所以（角平分线的定义）
因为（已知）
所以∠_________=∠__________（________）
∠____________=∠_________（___________）
所以.

【推荐3】（1）问题发现：如图①，直线，连结，可以发现
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点作，
∴（______）．
∵（已知），．
∴（______）．
∴．
∵（______）．
∴．（等量代换）．
（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．
（3）解决问题：如图③，，是与之间的点，直接写出，，之间的数量关系．

【推荐2】如图，在四边形中，，过对角线的中点O，作，分别交边，于点E，F，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．

【推荐3】在中，，，点是直线上的一动点（不和，重合），于，交直线于．
   
(1)如图①，若点D在边上时，证明：；
(2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明）；
(3)若点D在的反向延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明）

【推荐1】如图，点F在平行四边形ABCD的对角线AC上，过点F，B分别作AB，AC的平行线相交于点E、连接BF；若．求证：四边形ABEF是菱形．

【推荐2】【问题情境】在如下的三个图中，四边形都是平行四边形，的平分线与直线交于点E，与直线交于点F．
【思考发现】（1）在图1中，线段的数量关系是______；
【探究论证】（2）如图2，若，G是的中点，连接．求证：是等腰直角三角形；
【拓展应用】（3）如图3，若，交的延长线于点H，点K在上且，连接，求的度数．

   

【推荐3】如图，在中，点是的中点，点在边的延长线上，连接并延长交的延长线于点，分别与交于点.求证：.

【推荐1】如图，在梯形中，，是梯形的对角线，且，点是的中点，连接交于点．
   
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，，求梯形的周长．(结果保留根号)

【推荐2】如图所示，已知平行四边形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O，则四边形是菱形吗？请说明理由．

【推荐3】如图所示，是平行四边形中的平分线，交于点．
   
(1)四边形是菱形吗？请说明理由；
(2)如果，，求四边形的面积．