【推荐1】八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明）
已知：如图，线段相交于点O，______________，连接．
求证：____________．
证明：
   

【推荐3】【回归课本】
鲁教版初中数学八上教材第137﹣138页探索并证明了三角形中位线定理这个重要命题，请用文字语言表述三角形中位线定理：      ．
【回顾证法】
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法．
已知：如图1，是的中位线．（请结合图2，补全求证及证明过程）
求证：      ．
证明：
【实践应用】
如图3，B，C两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在直线外选一点A，连接，，然后步测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离为      米．
【深入探究】
如图4，DE是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论．
   

【推荐2】在中，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接，交于点G，交于点H，．

(1)如图1，求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，当点A是的中点时，请直接写出面积等于面积的一半的两个三角形和两个四边形．